حساب أخطاء السعة باستخدام معامل الطالب. حساب الخطأ في قياس القوة والمقاومة. الخطأ المطلق والنسبي مثال لحساب خطأ القياس المطلق

تورم الرأس

رقم القياس

5.4. حساب الخطأ الكلي

الخطأ المطلق

; .

5. الخطأ النسبي، أو دقة القياس

; ه = 0.5%.

6. سجل النتيجة النهائية

يتم كتابة النتيجة النهائية للقيمة قيد الدراسة في النموذج

ملحوظة. في التسجيل النهائي، يجب أن يكون عدد أرقام النتيجة والخطأ المطلق هو نفسه.

6. التمثيل البياني لنتائج القياس

غالبًا ما يتم عرض نتائج القياسات الفيزيائية في شكل رسوم بيانية. تتمتع الرسوم البيانية بعدد من المزايا المهمة والخصائص القيمة:

أ) جعل من الممكن تحديد نوع الاعتماد الوظيفي والحدود التي يكون صالحًا ضمنها؛

ب) السماح بإجراء مقارنة واضحة للبيانات التجريبية مع المنحنى النظري؛

ج) عند إنشاء رسم بياني، يقومون بتنعيم القفزات أثناء الوظيفة التي تنشأ بسبب أخطاء عشوائية؛

د) جعل من الممكن تحديد كميات معينة أو إجراء التمايز الرسومي والتكامل وحل المعادلات وما إلى ذلك.

الرسوم البيانية، كقاعدة عامة، مصنوعة على ورق خاص (ملليمتر، لوغاريتمي، شبه لوغاريتمي). ومن المعتاد أن يرسم المتغير المستقل على طول المحور الأفقي، أي القيمة التي يحدد قيمتها المجرب نفسه، وعلى المحور الرأسي - القيمة التي يحددها. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن تقاطع محاور الإحداثيات لا يجب أن يتزامن مع القيم الصفرية لـ x و y. عند اختيار أصل الإحداثيات، يجب أن تسترشد بحقيقة أن منطقة الرسم بأكملها مستخدمة بالكامل (الشكل 2.).

على محاور إحداثيات الرسم البياني، لا يتم الإشارة إلى أسماء أو رموز الكميات فحسب، بل يتم أيضًا الإشارة إلى وحدات قياسها. يجب اختيار المقياس على طول محاور الإحداثيات بحيث تقع النقاط المقاسة على كامل مساحة الورقة. في هذه الحالة، يجب أن يكون المقياس بسيطًا بحيث لا تضطر عند رسم النقاط على الرسم البياني إلى إجراء حسابات حسابية في رأسك.

يجب تصوير النقاط التجريبية على الرسم البياني بدقة ووضوح. ومن المفيد رسم النقاط التي تم الحصول عليها في ظل ظروف تجريبية مختلفة (على سبيل المثال، التدفئة والتبريد) بألوان مختلفة أو برموز مختلفة. إذا كان خطأ التجربة معروفًا، فبدلاً من النقطة، من الأفضل تصوير صليب أو مستطيل، تتوافق أبعاده على طول المحاور مع هذا الخطأ. لا ينصح بربط النقاط التجريبية مع بعضها البعض بخط متقطع. يجب رسم المنحنى على الرسم البياني بسلاسة، مع التأكد من أن النقاط التجريبية تقع أعلى المنحنى وأسفله، كما هو موضح في الشكل 3.

عند إنشاء الرسوم البيانية، بالإضافة إلى نظام الإحداثيات بمقياس موحد، يتم استخدام ما يسمى بالمقاييس الوظيفية. من خلال تحديد الوظائف المناسبة x وy، يمكنك الحصول على خط أبسط على الرسم البياني مقارنة بالبناء التقليدي. غالبًا ما يكون هذا ضروريًا عند تحديد صيغة لرسم بياني معين لتحديد معلماته. تُستخدم المقاييس الوظيفية أيضًا في الحالات التي يكون فيها من الضروري تمديد أو تقصير أي قسم من المنحنى على الرسم البياني. المقياس الوظيفي الأكثر استخدامًا هو المقياس اللوغاريتمي (الشكل 4).

في عصرنا، اخترع الإنسان ويستخدم مجموعة كبيرة ومتنوعة من جميع أنواع أدوات القياس. ولكن بغض النظر عن مدى مثالية التكنولوجيا المستخدمة في تصنيعها، فإن جميعها بها خطأ أكبر أو أقل. تتم الإشارة إلى هذه المعلمة، كقاعدة عامة، على الجهاز نفسه، ولتقييم دقة القيمة المحددة، يجب أن تكون قادرًا على فهم ما تعنيه الأرقام المشار إليها في العلامة. بالإضافة إلى ذلك، تنشأ حتما الأخطاء النسبية والمطلقة أثناء العمليات الحسابية المعقدة. ويستخدم على نطاق واسع في الإحصاء والصناعة (مراقبة الجودة) وفي عدد من المجالات الأخرى. كيف يتم حساب هذه القيمة وكيفية تفسير قيمتها - وهذا بالضبط ما سيتم مناقشته في هذه المقالة.

الخطأ المطلق

دعونا نشير بـ x إلى القيمة التقريبية للكمية التي تم الحصول عليها، على سبيل المثال، من خلال قياس واحد، وبـ x 0 إلى قيمتها الدقيقة. الآن دعونا نحسب حجم الفرق بين هذين الرقمين. الخطأ المطلق هو بالضبط القيمة التي حصلنا عليها نتيجة لهذه العملية البسيطة. معبراً عنه بلغة الصيغ، يمكن كتابة هذا التعريف بالشكل التالي: Δ x = | س - س 0 |.

خطأ نسبي

الانحراف المطلق له عيب واحد مهم - فهو لا يسمح بتقييم درجة أهمية الخطأ. على سبيل المثال، نشتري 5 كجم من البطاطس في السوق، والبائع عديم الضمير عند قياس الوزن، أخطأ في 50 جراما لصالحه. أي أن الخطأ المطلق كان 50 جرامًا. بالنسبة لنا، فإن مثل هذا السهو سيكون مجرد تافه ولن ننتبه إليه. تخيل ماذا سيحدث لو حدث خطأ مماثل أثناء تحضير الدواء؟ هنا سيكون كل شيء أكثر خطورة. وعند تحميل سيارة شحن، من المرجح أن تحدث انحرافات أكبر بكثير من هذه القيمة. ولذلك، فإن الخطأ المطلق في حد ذاته ليس مفيدًا جدًا. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يتم حساب الانحراف النسبي بشكل إضافي، وهو ما يعادل نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة الدقيقة للرقم. تتم كتابة ذلك بالصيغة التالية: δ = Δ x / x 0 .

خصائص الخطأ

لنفترض أن لدينا كميتين مستقلتين: x و y. نحن بحاجة لحساب انحراف القيمة التقريبية لمجموعها. في هذه الحالة، يمكننا حساب الخطأ المطلق كمجموع الانحرافات المطلقة المحسوبة مسبقًا لكل منها. في بعض القياسات، قد يحدث أن الأخطاء في تحديد قيم x و y تلغي بعضها البعض. أو قد يحدث أنه نتيجة للإضافة، يتم تكثيف الانحرافات إلى الحد الأقصى. لذلك، عند حساب إجمالي الخطأ المطلق، يجب مراعاة السيناريو الأسوأ. وينطبق الشيء نفسه على الفرق بين أخطاء عدة كميات. وهذه الخاصية مميزة للخطأ المطلق فقط، ولا يمكن تطبيقها على الانحراف النسبي، لأن ذلك سيؤدي حتماً إلى نتيجة غير صحيحة. دعونا نلقي نظرة على هذا الموقف باستخدام المثال التالي.

لنفترض أن القياسات داخل الأسطوانة أظهرت أن نصف القطر الداخلي (R 1) يبلغ 97 مم، ونصف القطر الخارجي (R 2) يبلغ 100 مم. من الضروري تحديد سمك جداره. أولاً، دعونا نوجد الفرق: h = R 2 - R 1 = 3 مم. وإذا لم تبين المشكلة ما هو الخطأ المطلق، فإنها تؤخذ على أنها نصف قسمة مقياس جهاز القياس. وبالتالي، Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 مم. إجمالي الخطأ المطلق هو: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 مم. الآن دعونا نحسب الانحراف النسبي لجميع القيم:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005،

δ(R 1) = 0.5/97 ≈ 0.0052،

δ(ح) = Δ(ح)/ح = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

وكما ترون فإن الخطأ في قياس كلا نصفي القطر لا يتجاوز 5.2%، والخطأ في حساب الفرق بينهما - سمك جدار الأسطوانة - يصل إلى 33.(3)%!

تنص الخاصية التالية: الانحراف النسبي لمنتج عدة أرقام يساوي تقريبًا مجموع الانحرافات النسبية للعوامل الفردية:

δ(س ص) ≈ δ(س) + δ(ذ).

علاوة على ذلك، فإن هذه القاعدة صالحة بغض النظر عن عدد القيم التي يتم تقييمها. الخاصية الثالثة والأخيرة للخطأ النسبي هي أن التقدير النسبي للقوة k هو تقريبًا | ك | أضعاف الخطأ النسبي للرقم الأصلي.

دع الأخطاء المنهجية في القياسات تكون ضئيلة. دعونا نفكر في الحالة التي يتم فيها إجراء القياس لعدد كبير من المرات (n → ∞).

وكما تبين التجربة، فإن انحراف نتائج القياس عن متوسط قيمتها لأعلى أو لأسفل هو نفسه. تتم ملاحظة نتائج القياس ذات الانحرافات الصغيرة عن القيمة المتوسطة في كثير من الأحيان مقارنة بالانحرافات الكبيرة.

دعونا نرتب جميع القيم العددية لنتائج القياس في سلسلة ترتيباً تصاعدياً ونقسم هذه السلسلة إلى فترات متساوية
. يترك - عدد القياسات التي تقع نتائجها ضمن الفاصل الزمني [
]. ضخامة
هناك احتمال ΔP i (x) للحصول على نتيجة ذات قيمة في الفاصل الزمني [
].

دعونا نعرضها بيانيا
المقابلة لكل فاصل زمني [
] (رسم بياني 1). يسمى المنحنى المتدرج الموضح في الشكل 1 بالرسم البياني. لنفترض أن جهاز القياس يتمتع بحساسية عالية للغاية. ثم يمكن جعل عرض الفاصل الزمني متناهيًا في الصغر dx. يتم استبدال المنحنى المتدرج في هذه الحالة بمنحنى يمثله الدالة φ(x) (الشكل 2). تسمى الدالة φ(x) عادةً بوظيفة كثافة التوزيع. معناها هو أن المنتج φ(x)dx هو احتمال dP(x) للحصول على نتائج بقيمة تتراوح من x إلى x+dx. بيانياً، يتم تمثيل قيمة الاحتمال بمساحة المستطيل المظلل. ومن الناحية التحليلية، تتم كتابة دالة كثافة التوزيع على النحو التالي:

. (5)

تسمى الدالة φ(x) المقدمة بالشكل (5) بالدالة الغوسية، والتوزيع المقابل لنتائج القياس هو غاوسي أو عادي.

خيارات
وσ لها المعنى التالي (الشكل 2).

- متوسط قيمة نتائج القياس. في
=
تصل الدالة الغوسية إلى قيمتها القصوى. إذا كان عدد الأبعاد كبيرًا بلا حدود، إذن
مساوية للقيمة الحقيقية للكمية المقاسة.

σ - يميز درجة تشتت نتائج القياس من متوسط قيمتها. يتم حساب المعلمة σ باستخدام الصيغة:

. (6)

تمثل هذه المعلمة جذر متوسط مربع الخطأ. الكمية σ 2 في نظرية الاحتمالات تسمى تشتت الدالة φ(x).

كلما زادت دقة القياس، كلما كانت نتائج القياس أقرب إلى القيمة الحقيقية للكمية المقاسة، وبالتالي أصغر σ.

من الواضح أن شكل الدالة φ(x) لا يعتمد على عدد الأبعاد.

توضح نظرية الاحتمالية أن 68% من جميع القياسات ستعطي نتيجة موجودة في الفترة، و95% في الفترة، و99.7% في الفترة.

وبالتالي، مع احتمال (موثوقية) قدره 68%، فإن انحراف نتيجة القياس عن القيمة المتوسطة يقع في الفترة [
]، مع احتمال (موثوقية) 95% – في الفترة [
] وباحتمال (موثوقية) 99.7% – في الفترة [
].

يُطلق على الفاصل الزمني المقابل لاحتمال معين للانحراف عن القيمة المتوسطة اسم الثقة.

في التجارب الحقيقية، من الواضح أن عدد الأبعاد لا يمكن أن يكون كبيرًا بلا حدود، لذلك فمن غير المرجح أن يحدث ذلك
تزامنت مع القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة
. وفي هذا الصدد، من المهم، بناءً على نظرية الاحتمالات، تقدير حجم الانحراف المحتمل
من
.

تظهر الحسابات أنه عندما يكون عدد القياسات أكثر من 20، مع احتمال 68٪
يقع ضمن فترة الثقة [
]، مع احتمال 95% – في الفترة [
]، مع احتمال 99.7% – في الفترة [
].

ضخامة الذي يحدد حدود فترة الثقة، يسمى الانحراف المعياري أو ببساطة المعيار.

معيار تحسب بواسطة الصيغة:

. (7)

ومع مراعاة الصيغة (6) يأخذ التعبير (7) الصيغة التالية:

. (8)

كلما زاد عدد الأبعاد n، كلما اقتربت X من
. إذا لم يكن عدد القياسات كبيرًا، أقل من 15، فبدلاً من التوزيع الغوسي، يتم استخدام توزيع الطالب، مما يؤدي إلى زيادة عرض فاصل الثقة للانحراف المحتمل لـ X عن
كثافة العمليات ن، ص مرات.

العامل t n, p يسمى معامل الطالب. يشير المؤشران P و n إلى مدى الموثوقية وعدد القياسات التي يتوافق معها معامل الطالب. يتم تحديد قيمة معامل الطالب لعدد معين من القياسات وموثوقية معينة وفقًا للجدول 1.

الجدول 1

معامل الطالب.

على سبيل المثال، مع موثوقية معينة تبلغ 95% وعدد القياسات n = 20، معامل الطالب t 20.95 = 2.1 (فاصل الثقة
) مع عدد القياساتn=4, t 4.95=3.2 (فاصل الثقة
). أي أنه مع زيادة عدد القياسات من 4 إلى 20 يكون هناك انحراف محتمل
يتناقص fromX بمقدار 1.524 مرة.

فيما يلي مثال لحساب الخطأ العشوائي المطلق

		العاشر ط –	(خ ط – ) 2

باستخدام الصيغة (2) نجد القيمة المتوسطة للقيمة المقاسة
(دون الإشارة إلى البعد للكمية الفيزيائية)

باستخدام الصيغة (8) نحسب الانحراف المعياري

تم تحديد معامل الطالب لـ n=6، وP=95%، t 6.95 =2.6 النتيجة النهائية:

X = 20.1 ± 2.6 · 0.121 = 20.1 ± 0.315 (مع P = 95٪).

نحسب الخطأ النسبي:

عند تسجيل نتيجة القياس النهائية، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الخطأ يجب أن يحتوي على رقم مهم واحد فقط (بخلاف الصفر). يتم تسجيل رقمين مهمين في الخطأ فقط إذا كان الرقم قبل الأخير هو 1. ومن غير المجدي تسجيل عدد أكبر من الأرقام المهمة، لأنها لن تكون موثوقة. في تسجيل القيمة المتوسطة للقيمة المقاسة، يجب أن ينتمي الرقم الأخير إلى نفس الرقم الذي ينتمي إليه الرقم الأخير في تسجيل الخطأ.

X=(243±5)·10 2;

س = 232.567 ± 0.003.

أخذ عدة قياسات قد يؤدي إلى نفس النتيجة. وهذا ممكن إذا كانت حساسية جهاز القياس منخفضة. عندما يتم القياس باستخدام جهاز ذو حساسية منخفضة، فإن إجراء قياس واحد يكفي. ليس من المنطقي، على سبيل المثال، قياس طول الطاولة بشكل متكرر باستخدام شريط قياس بتقسيمات السنتيمتر. ستكون نتيجة القياس في هذه الحالة هي نفسها. يتم تحديد الخطأ أثناء القياس الواحد بقيمة أصغر قسم للجهاز. ويسمى خطأ في الأداة. معناها
تحسب باستخدام الصيغة التالية:

, (10)

حيث γ هو سعر تقسيم الجهاز؛

t ∞, p – معامل الطالب المطابق لعدد كبير لا نهائي من القياسات.

مع الأخذ بعين الاعتبار خطأ الأداة، يتم تحديد الخطأ المطلق بموثوقية معينة بواسطة الصيغة:

, (11)

أين
.

مع الأخذ في الاعتبار الصيغتين (8) و (10)، يتم كتابة (11) على النحو التالي:

. (12)

في الأدبيات، لتقصير السجل، في بعض الأحيان لا يتم الإشارة إلى حجم الخطأ. من المفترض أن يكون حجم الخطأ نصف واحد من آخر رقم مهم. على سبيل المثال، يتم كتابة نصف قطر الأرض في النموذج
م وهذا يعني أن الخطأ يجب أن يؤخذ كقيمة تساوي ±
م.

تقدير أخطاء نتائج القياس

أخطاء القياس وأنواعها

يتم إجراء أي قياسات دائمًا مع بعض الأخطاء المرتبطة بمحدودية دقة أدوات القياس، والاختيار الخاطئ والخطأ في طريقة القياس، وفسيولوجية المجرب، وخصائص الأشياء التي يتم قياسها، والتغيرات في ظروف القياس، وما إلى ذلك. تتضمن مهمة القياس العثور ليس فقط على القيمة نفسها، ولكن أيضًا خطأ القياس، أي الفاصل الزمني الذي من المرجح أن تقع فيه القيمة الحقيقية للكمية المقاسة. على سبيل المثال، عند قياس فترة زمنية t باستخدام ساعة توقيت بقيمة قسمة قدرها 0.2 ثانية، يمكننا القول أن قيمتها الحقيقية موجودة في الفاصل الزمني من https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> وX هي القيم الحقيقية والمقاسة للكمية قيد الدراسة، على التوالى. الكمية تسمى الخطأ المطلق(خطأ) القياس، والإعراب الذي يميز دقة القياس يسمى خطأ نسبي.

من الطبيعي تمامًا أن يرغب المُجرِّب في إجراء كل قياس بأكبر قدر ممكن من الدقة، ولكن مثل هذا النهج لا يُنصح به دائمًا. كلما أردنا قياس هذه الكمية أو تلك بدقة أكبر، كلما زادت تعقيد الأدوات التي يجب أن نستخدمها، وكلما زادت المدة التي تتطلبها هذه القياسات. ولذلك، فإن دقة النتيجة النهائية يجب أن تتوافق مع الغرض من التجربة. تقدم نظرية الأخطاء توصيات حول كيفية إجراء القياسات وكيفية معالجة النتائج بحيث يكون الخطأ في حده الأدنى.

عادةً ما يتم تقسيم جميع الأخطاء التي تنشأ أثناء القياسات إلى ثلاثة أنواع - أخطاء منهجية أو عشوائية أو أخطاء أو أخطاء جسيمة.

أخطاء منهجيةتنتج عن الدقة المحدودة في تصنيع الأجهزة (أخطاء الأجهزة)، وأوجه القصور في طريقة القياس المختارة، وعدم دقة معادلة الحساب، والتركيب غير الصحيح للجهاز، وما إلى ذلك. وبالتالي، تحدث الأخطاء المنهجية بسبب عوامل تعمل بنفس الطريقة عندما يتم تكرار نفس القياسات عدة مرات. وحجم هذا الخطأ يتكرر بشكل منهجي أو يتغير وفقا لقانون معين. يمكن التخلص من بعض الأخطاء المنهجية (من السهل دائمًا تحقيق ذلك عمليًا) عن طريق تغيير طريقة القياس، وإدخال تصحيحات على قراءات الأجهزة، ومراعاة التأثير المستمر للعوامل الخارجية.

على الرغم من أن الخطأ المنهجي (الآلي) في القياسات المتكررة يعطي انحرافًا للقيمة المقاسة عن القيمة الحقيقية في اتجاه واحد، إلا أننا لا نعرف أبدًا أي اتجاه. لذلك، يتم كتابة خطأ الصك بعلامة مزدوجة

أخطاء عشوائيةتنتج عن عدد كبير من الأسباب العشوائية (التغيرات في درجة الحرارة، الضغط، اهتزاز المباني، وما إلى ذلك)، والتي تختلف تأثيراتها على كل قياس ولا يمكن أخذها في الاعتبار مسبقًا. كما تحدث أخطاء عشوائية نتيجة لنقص حواس المجرب. تتضمن الأخطاء العشوائية أيضًا الأخطاء الناتجة عن خصائص الجسم المقاس.

من المستحيل استبعاد الأخطاء العشوائية في القياسات الفردية، ولكن من الممكن تقليل تأثير هذه الأخطاء على النتيجة النهائية عن طريق إجراء قياسات متعددة. إذا تبين أن الخطأ العشوائي أقل بكثير من الخطأ الآلي (المنهجي)، فلا فائدة من تقليل قيمة الخطأ العشوائي بشكل أكبر عن طريق زيادة عدد القياسات. إذا كان الخطأ العشوائي أكبر من خطأ الجهاز فيجب زيادة عدد القياسات لتقليل قيمة الخطأ العشوائي وجعله أقل من أو بنفس حجم خطأ الجهاز.

الأخطاء أو الأخطاء- هذه قراءات غير صحيحة على الجهاز، وتسجيل غير صحيح للقراءة، وما إلى ذلك. كقاعدة عامة، تكون الأخطاء الناجمة عن الأسباب المحددة ملحوظة بوضوح، لأن القراءات المقابلة تختلف بشكل حاد عن القراءات الأخرى. يجب القضاء على الأخطاء عن طريق قياسات التحكم. وبالتالي، فإن عرض الفاصل الزمني الذي تقع فيه القيم الحقيقية للكميات المقاسة لن يتم تحديده إلا من خلال أخطاء عشوائية ومنهجية.

2. تقدير الخطأ المنهجي (الأداة).

للقياسات المباشرةيتم حساب قيمة الكمية المقاسة مباشرة على مقياس جهاز القياس. يمكن أن يصل الخطأ في القراءة إلى عدة أعشار من تقسيم المقياس. عادة، في مثل هذه القياسات، يعتبر الخطأ المنهجي مساويا لنصف تقسيم مقياس أداة القياس. على سبيل المثال، عند القياس باستخدام الفرجار بقيمة تقسيم تبلغ 0.05 مم، فإن قيمة خطأ قياس الأداة تساوي 0.025 مم.

أجهزة القياس الرقمية تعطي قيمة الكميات التي تقيسها بخطأ يساوي قيمة وحدة واحدة من الرقم الأخير في مقياس الجهاز. لذا، إذا أظهر الفولتميتر الرقمي قيمة 20.45 مللي فولت، فإن خطأ القياس المطلق يساوي مللي فولت.

تنشأ أيضًا أخطاء منهجية عند استخدام القيم الثابتة المحددة من الجداول. في مثل هذه الحالات، يفترض أن يكون الخطأ مساويًا لنصف آخر رقم مهم. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة كثافة الفولاذ في الجدول 7.9∙103 كجم/م3، فإن الخطأ المطلق في هذه الحالة يساوي https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">يتم استخدام الصيغة

, (1)

حيث https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">، هي مشتقات جزئية للدالة بالنسبة للمتغير https://pandia. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات دو حسوف تكون متساوية

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width = "71" height = "44 src = ">.

وبالتالي، فإن صيغة تحديد الخطأ المنهجي المطلق عند قياس حجم الأسطوانة وفقًا لها لها الشكل التالي

أين توجد أخطاء في الأجهزة عند قياس قطر وارتفاع الأسطوانة

3. تقدير الخطأ العشوائي.

فترة الثقة واحتمال الثقة

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width = "12 ارتفاع = 23" ارتفاع = "23">.gif" width = "45" ارتفاع = "21 src = "> - دالة توزيع الأخطاء العشوائية (الأخطاء)، التي تحدد احتمالية الخطأ، σ – متوسط مربع الخطأ.

الكمية σ ليست متغيرة عشوائية وتميز عملية القياس. إذا لم تتغير ظروف القياس، فستظل σ قيمة ثابتة. يسمى مربع هذه الكمية تشتت القياس.كلما كان التشتت أصغر، كلما كان انتشار القيم الفردية أصغر وكلما زادت دقة القياس.

القيمة الدقيقة لمتوسط الخطأ المربع σ، وكذلك القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة، غير معروفة. وهناك ما يسمى بالتقدير الإحصائي لهذه المعلمة، والذي بموجبه يكون متوسط مربع الخطأ مساوياً لمتوسط مربع الخطأ للوسط الحسابي. يتم تحديد قيمتها بواسطة الصيغة

, (3)

حيث https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> هو الوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها؛ ن- عدد القياسات.

كلما زاد عدد القياسات، قل https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">، والخطأ العشوائي المطلق، سيتم تسجيل نتيجة القياس في النموذج https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> إلى، والذي يحتوي على القيمة الحقيقية للكمية المقاسة μ، يسمى فاصل الثقة.نظرًا لأن https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> قريب من σ. للعثور على فاصل الثقة واحتمال الثقة باستخدام يتم استخدام عدد قليل من القياسات التي نتعامل معها أثناء العمل المختبري توزيع احتمالات الطلاب.هذا هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي يسمى معامل الطالب، يعطي قيمة فاصل الثقة في كسور جذر متوسط مربع الخطأ للوسط الحسابي.

لا يعتمد التوزيع الاحتمالي لهذه الكمية على σ2، ولكنه يعتمد بشكل كبير على عدد التجارب ن.مع تزايد عدد التجارب نيميل توزيع الطلاب إلى التوزيع الغوسي.

يتم جدولة وظيفة التوزيع (الجدول 1). قيمة معامل الطالب تكون عند تقاطع الخط المقابل لعدد القياسات ن، والعمود المقابل لاحتمال الثقة α

الجدول 1.

باستخدام بيانات الجدول، يمكنك:

1) تحديد فاصل الثقة، مع وجود احتمال معين؛

2) حدد فاصل الثقة وحدد احتمالية الثقة.

بالنسبة للقياسات غير المباشرة، متوسط مربع الخطأ لقيمة المتوسط الحسابي للدالة تحسب بواسطة الصيغة

. (5)

يتم تحديد فاصل الثقة واحتمال الثقة بنفس الطريقة كما في حالة القياسات المباشرة.

تقدير خطأ القياس الكلي. سجل النتيجة النهائية.

سيتم تحديد الخطأ الإجمالي لنتيجة القياس للقيمة X على أنه القيمة الجذرية لمتوسط مربع الأخطاء المنهجية والعشوائية

, (6)

أين δ –خطأ في الأداة، Δ X- خطأ عشوائي.

يمكن أن تكون X كمية يتم قياسها بشكل مباشر أو غير مباشر.

، α=…، ه=… (7)

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن صيغ نظرية الخطأ نفسها صالحة لعدد كبير من القياسات. ولذلك، يتم تحديد قيمة العشوائية، وبالتالي الخطأ الإجمالي، عند صغير نمع خطأ كبير. عند حساب Δ Xمع عدد القياسات، يوصى بتحديد رقم مهم واحد إذا كان أكبر من 3 واثنين إذا كان الرقم المهم الأول أقل من 3. على سبيل المثال، إذا كان Δ X= 0.042، ثم نتخلص من 2 ونكتب Δ X= 0.04، وإذا كان Δ X=0.123، ثم نكتب Δ X=0,12.

يجب أن يكون عدد أرقام النتيجة والخطأ الإجمالي هو نفسه. ولذلك، يجب أن يكون الوسط الحسابي للخطأ هو نفسه. ولذلك يتم حساب الوسط الحسابي أولا برقم واحد أكثر من القياس، وعند تسجيل النتيجة يتم تحسين قيمته إلى عدد أرقام الخطأ الإجمالي.

4. منهجية حساب أخطاء القياس.

أخطاء القياسات المباشرة

عند معالجة نتائج القياسات المباشرة، يوصى باعتماد الترتيب التالي للعمليات.

يتم إجراء قياسات لمعلمة فيزيائية معينة ن مرات وبنفس الظروفويتم تسجيل النتائج في جدول. إذا كانت نتائج بعض القياسات تختلف بشكل حاد في القيمة عن قياسات أخرى، فسيتم تجاهلها باعتبارها أخطاء إذا لم يتم تأكيدها بعد التحقق منها. يتم حساب الوسط الحسابي للقياسات المتطابقة n. يتم اعتبارها القيمة الأكثر احتمالية للكمية المقاسة

تم العثور على الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية ويتم حساب مربعات الأخطاء المطلقة للقياسات الفردية (Δ Xط)2 يتم تحديد جذر متوسط مربع الخطأ للوسط الحسابي

تم تعيين قيمة احتمال الثقة α. من المعتاد في مختبرات الورش ضبط α=0.95. تم العثور على معامل الطالب لاحتمال ثقة معين α وعدد القياسات المأخوذة (انظر الجدول).

يتم تحديد الخطأ الإجمالي

يتم تقدير الخطأ النسبي لنتيجة القياس

النتيجة النهائية مكتوبة في النموذج

ج α=… ه=…%.

5. خطأ القياسات غير المباشرة

عند تقييم القيمة الحقيقية لقيمة تم قياسها بشكل غير مباشر https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">، يمكن استخدام طريقتين.

الطريقة الأولىتستخدم إذا كانت القيمة ذيتم تحديدها في ظل ظروف تجريبية مختلفة. في هذه الحالة، يتم حساب كل من القيم ومن ثم يتم تحديد الوسط الحسابي لجميع القيم يي

تم العثور على الخطأ المنهجي (الآلي) بناءً على الأخطاء الآلية المعروفة لجميع القياسات باستخدام الصيغة. ويعرف الخطأ العشوائي في هذه الحالة بأنه خطأ القياس المباشر.

الطريقة الثانيةينطبق إذا كانت هذه الوظيفة ذيتم تحديده عدة مرات بنفس القياسات..gif" width="75" height="24">. في ممارساتنا المخبرية، يتم استخدام الطريقة الثانية لتحديد الكمية المقاسة بشكل غير مباشر في كثير من الأحيان ذ.يتم العثور على الخطأ المنهجي (الآلي) كما في الطريقة الأولى على أساس الأخطاء الآلية المعروفة لجميع القياسات باستخدام الصيغة

. (10)

للعثور على الخطأ العشوائي لقياس غير مباشر، يتم أولاً حساب جذر متوسط الأخطاء المربعة للوسط الحسابي للقياسات الفردية. ومن ثم يتم العثور على متوسط مربع الخطأ للقيمة ذ.تحديد احتمالية الثقة α، وإيجاد معامل الطالب https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">، مع α=… E=…% .

6. مثال على تصميم العمل المخبري

العمل المختبري رقم 1

تحديد حجم الاسطوانة

مُكَمِّلات:الفرجار بقيمة قسمة 0.05 مم، ميكرومتر بقيمة قسمة 0.01 مم، جسم أسطواني.

الهدف من العمل:التعرف على أبسط القياسات الفيزيائية وتحديد حجم الأسطوانة وحساب الأخطاء في القياسات المباشرة وغير المباشرة.

قم بقياس قطر الاسطوانة 5 مرات على الأقل باستخدام الفرجار وارتفاعها بالميكرومتر.

صيغة حسابية لحساب حجم الاسطوانة

حيث d هو قطر الاسطوانة؛ ح – الارتفاع.

نتائج القياس

الجدول 2.

فئات دقة الأداة

تحدد فئة دقة أداة القياس حدود الأخطاء الرئيسية والإضافية المسموح بها. يتم التعبير عن هذه الحدود في شكل أخطاء نسبية أو نسبية أو مطلقة مخفضة. إذا تغلب الخطأ الإضافي لأداة القياس على الخطأ المضاعف، فسيتم التعبير عن فئة الدقة في شكل خطأ نسبي مخفض:

أين ر- الرقم الإيجابي المجرد المحدد من السلسلة ( ن= 1، 0، -1، -2، -3...). للأجهزة التناظرية عادة ريأخذ القيم 0.05؛ 0.1; 0.2; 0.5؛ 1؛ 1.5؛ 2.5؛ 4.

إذا تغلب الخطأ المضاعف لجهاز القياس على الخطأ الإضافي، يتم التعبير عن فئة الدقة من خلال الخطأ النسبي:

بالنسبة لأجهزة القياس ذات الأخطاء المضافة والمضاعفة، يتم التعبير عن فئة الدقة بصيغة ذات فترتين:

حيث و هي أرقام من السلسلة المذكورة أعلاه، و، هي القيمة النهائية لنطاق القياس للجهاز، وهي القيمة المقاسة. عادةً ما يتم استخدام هذه الطريقة للتعبير عن فئة الدقة للأجهزة الرقمية والمقاييس متعددة القيم وأجهزة المقارنة.

بالنسبة للأدوات التناظرية، يتم وضع فئة الدقة على اللوحة الأمامية. إذا كانت فئة الدقة تساوي الخطأ النسبي المنخفض، تتم الإشارة إلى فئة الدقة كرقم من السلسلة أعلاه، على سبيل المثال، 0,5 . إذا كان مقياس الجهاز متفاوتًا إلى حد كبير، فسيتم الإشارة إلى فئة الدقة كرقم بعلامة، على سبيل المثال، وإذا تم التعبير عن فئة الدقة من حيث الخطأ النسبي، فسيتم وضع الرقم من السلسلة بين قوسين، على سبيل المثال (2,5) أو في دائرة.

بالنسبة لأجهزة القياس ذات الأخطاء المضافة والمضاعفة، يتم التعبير عن فئة الدقة ككسر، على سبيل المثال 0,02/0,01 .

يمكن تقسيم أخطاء القياس إلى ثلاث فئات:

أ) منهجي. ب) عشوائي. ج) يخطئ.

تشمل الأخطاء المنهجية ما يلي:

- مفيدةالأخطاء، والتي تتكون بدورها من خطأ الأداة (فئة الدقة) والخطأ الناتج عن تفاعل أداة القياس مع مصدر الإشارة (اعتمادًا على مقاومة دخل الجهاز)؛

- إضافيالأخطاء الناجمة عن تأثير العوامل الخارجية (درجة الحرارة، المجال المغناطيسي، وما إلى ذلك)؛

- أخطاء شخصية، بسبب الخصائص الفردية للمراقب؛

أخطاء طريقة القياس.

على سبيل المثال، الخطأ الناتج عن تفاعل أداة القياس مع مصدر الإشارة عند قياس التيار في دائرة ذات مقاومة ومقاومة الأميتر يساوي:

الخطأ الناتج عن تفاعل أداة القياس مع مصدر الإشارة عند قياس الجهد على جزء من الدائرة ذات المقاومة ومقاومة الفولتميتر يساوي:

تنطبق هذه الصيغ أيضًا عند قياس قوة وطاقة التيار الكهربائي.

خطأ الصك يعتمد على فئة الدقة. إذا تم التعبير عن فئة دقة الجهاز من خلال الخطأ المخفض، فإن الخطأ النسبي لقراءة الجهاز سيكون مساويًا للأميتر:

أين هي قراءة الأميتر وقيمته الاسمية.

وكذلك الأمر بالنسبة للفولتميتر:

إذا تم التعبير عن فئة الدقة من حيث الخطأ النسبي، فإن خطأ الإشارة يساوي فئة دقة الجهاز.

أخطاء إضافية، تتعلق أيضًا بأخطاء الآلات المنهجية، تنتج عن انحراف ظروف القياس عن الظروف العادية.

لذلك، على سبيل المثال، في دوائر الأميتر ذات التحويلات، نظرًا لأن التحويلات مصنوعة من المنجانين (مقاومة المنجانين مستقلة عمليًا عن درجة الحرارة)، فمن الضروري استخدام دوائر تعويض درجة الحرارة. في أبسط الحالات، يتم توصيل المقاومة على التوالي مع الإطار ص 1من المنجانين والأرز. 1.

بعد ذلك سينخفض معامل درجة حرارة مقاومة دائرة الإطار وسيتم تحديد الخطأ في درجة الحرارة بالصيغة:

أين β 0 - معامل درجة حرارة مقاومة دائرة الإطار؛

ص 0- مقاومة الإطار والينابيع وأسلاك التوصيل؛

ص ث- تحويلة المقاومة؛

ص 1- مقاومة إضافية من المنجانين.

; - درجة الحرارة أثناء القياس.

في الأجهزة عالية الدقة، يتم استخدام دائرة تعويض درجة الحرارة المتوازية.

إذا لم يكن هناك تعويض درجة الحرارة:

يتم تحديد الخطأ في درجة حرارة الفولتميتر الكهرومغناطيسي بواسطة الصيغة:

أين هي المقاومة الإضافية من المنجانين.

يتضح من الصيغة أنه يمكن تقليل الخطأ في درجة حرارة الفولتميتر عن طريق زيادة المقاومة الإضافية من المنجانين.

بالنسبة لأجهزة قياس الفولتميتر الكهرومغناطيسي والكهروديناميكي، يعتمد الخطأ في درجة الحرارة على معامل درجة حرارة عزم الدوران الزنبركي ومعامل درجة حرارة مقاومة الملف ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

أين هو معامل درجة الحرارة لعزم الزنبرك (وهو سلبي ويصل إلى 0.2¸0.3% لكل 10 درجات مئوية).

يعتمد المصطلح الثاني من هذا التعبير على حد قياس الجهاز. يحتوي الفولتميتر على أكبر خطأ عند أدنى حد للقياس، لأن في هذه الحالة هو الحد الأدنى.

في أجهزة القياس الكهروديناميكية ذات التوصيل المتسلسل للملفات وفي أجهزة القياس الكهرومغناطيسية، تؤثر درجة الحرارة فقط على الخصائص المرنة للينابيع. ولذلك، فإن الخطأ في درجة الحرارة لا يتجاوز ±0.2% لكل 10 درجات مئوية ولا يتطلب طرق تعويض خاصة.

تتأثر الفولتميتر الكهروديناميكي والكهرومغناطيسي بشكل كبير بالتردد. السبب الرئيسي للتناقض بين قراءاتهم للتيار المباشر والمتردد هو وجود مفاعلة حثي.

يتم حساب خطأ التردد عند الانتقال من التيار المباشر إلى التيار المتردد على النحو التالي:

أين ص- مقاومة الفولتميتر DC؛

ص أ– المقاومة النشطة لدائرة الفولتميتر على التيار المتردد.

عند الترددات التي تصل إلى 2000 هرتز، والتي تعمل بها هذه الأجهزة، يمكن اعتبار الفرق الناتج عن التيارات الدوامية في سمك الملف النحاسي والأجزاء المعدنية المحيطة ضئيلًا. ثم أخذ ص أ ص، نحن نحصل:

يتناسب انحراف الجزء المتحرك من جهاز المقوم مع متوسط القيمة المعدلة للتيار المتدفق عبره. لذلك، من الممكن قياس القيمة الفعالة للتيار المتردد فقط إذا كان عامل الشكل لمنحنى التيار المتردد معروفًا. عادة، تتم معايرة موازين أجهزة المقوم بقيم فعالة ذات شكل جيبي للمنحنى، وضرب قراءات الجهاز لذلك بعامل الشكل = 1.11 (كما هو الحال مع الشكل الجيبي).

إذا كانت أشكال الموجات تختلف عن الموجات الجيبية، فسيكون للقراءات خطأ متأصل في طريقة القياس:

تنجم الأخطاء المنهجية عن النقص في طريقة القياس، وعلى وجه الخصوص، عن النقص في مخطط القياس. لذلك، عند قياس المقاومة والطاقة التي يستهلكها الحمل بشكل غير مباشر باستخدام طريقة مقياس التيار الكهربائي والفولتميتر، عادة ما يتم استخدام دائرتين، الشكل 1. 2.

الأخطاء في قياس المقاومة ∆ ونفسها وفقًا للمخطط أ) تساوي:

أين هي قراءات الأداة.

أخطاء القياس حسب المخطط ب):

عادة ما تكون الأخطاء الذاتية أو الشخصية بين المجربين ذوي الخبرة صغيرة ويتم إهمالها بالمقارنة مع المكونات الأخرى للخطأ المنهجي الإجمالي. من المقبول عمومًا أن هذا الخطأ Δ ots,p (خطأ القراءة) لا يتجاوز 20% من ثابت الجهاز، أي.

منذ خطأ القياس – ضخامة المجموع،اذا متى مباشر قياسات:

أ) للاحتمال ر= 1 ابحث عن القيم الحدية لخطأ القياس Δ p عن طريق الجمع الحسابي للقيم الحدية للمكونات Δ i، p:

قد تكون المكونات:

– الخطأ الرئيسي Δ o, p;

- أخطاء إضافية Δ د، ص؛

- حساب الخطأ Δ ots,p;

- خطأ التفاعل Δ في، ص.

مع طريقة الجمع هذه، يتم المبالغة في تقدير الخطأ إلى حد كبير، لأنه من غير المرجح أن تكون جميع المكونات ضمن حدودها وتكون لها نفس العلامة (زائد أو ناقص). لكن هذه الطريقة تعطي ضمانة كاملة.

ب) للاحتمال ر< 1 находят граничные значения погрешности измерения Δ гр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δ i ,п:

Δ غرام = ± ك.

معنى ليعتمد على قوانين توزيع المتغيرات العشوائية Δ i وعلى قيمة الاحتمال المحددة ر. إذا كانت قوانين التوزيع غير معروفة، فمن المستحسن أن نفترض أن هذا هو قانون الكثافة الموحدة لجميع المكونات. علاوة على ذلك، من نظرية الاحتمالات يترتب على ذلك أن القيم لبقيم مختلفة رتتوافق مع تلك الواردة في الجدول:

ر	0,9	0,95	0,99
ل	0,95	1,1	1,4

الخطأ الإجمالي في غير مباشر تم العثور على القياسات باستخدام صيغ مماثلة.

وفي هذه الحالة يعرف الاعتماد الوظيفي لنتيجة القياس غير المباشر يمن الحجج × 1؛ × 2 ؛…X ن:

(مثال :ص=هنا ص = ر; × 1 = ش; × 2 = أنا).

نحن بحاجة للعثور على الخطأ Δ يالناتجة عن الأخطاء Δ × 1; Δ × 2;… Δ Xn.

اسمحوا : Δ ي = Δ; Δ × 1= Δ 1 ؛ Δ × 2= Δ 2 ؛… Δ Xn= Δ n، ثم وفقًا للصيغة التفاضلية الإجمالية:

القيم الحدية لإجمالي الخطأ المطلق:

في ر< 1 применяют статистическое суммирование:

أين ليعتمد على قيمة الاحتمال المحددة ركما هو الحال مع القياسات المباشرة (انظر الجدول).

وبالتالي، يمكن أخذ أخطاء القياس المنهجية في الاعتبار، بل والقضاء عليها عند إعداد التجربة بعناية.

لا يمكن السيطرة على الأخطاء والأخطاء العشوائية، لأنها تظهر نتيجة عمل متزامن للعديد من الأسباب المختلفة. تخضع هذه الأخطاء لقوانين الأعداد الكبيرة، لذلك لا يمكن هنا سوى المحاسبة الإحصائية، وفقًا لنظرية الاحتمال.

يتم اكتشاف الأخطاء والأخطاء العشوائية أثناء القياسات المتكررة لقيمة معينة في ظل نفس الظروف.

لنفترض أننا ندير سلسلة من نقياسات نفس الكمية X. بسبب أخطاء عشوائية، القيم الفردية X 1 ,X 2 ,X 3, X n ليست متماثلة، ويتم اختيار الوسط الحسابي كأفضل قيمة للقيمة المطلوبة، يساوي المجموع الحسابي لجميع القيم المقاسة مقسوما على عدد القياسات:

حيث å هي علامة المبلغ، أنا- رقم القياس، ن- عدد القياسات.

إذن - القيمة الأقرب إلى القيمة الحقيقية. لا أحد يعرف المعنى الحقيقي. يمكنك فقط حساب الفاصل الزمني D Xبالقرب، حيث يمكن تحديد القيمة الحقيقية بدرجة معينة من الاحتمال ر. يسمى هذا الفاصل فاصل الثقة. يُطلق على الاحتمالية التي تقع بها القيمة الحقيقية احتمالية الثقة، أو معامل الموثوقية(نظرًا لأن معرفة احتمالية الثقة تسمح للمرء بتقييم درجة موثوقية النتيجة التي تم الحصول عليها). عند حساب فاصل الثقة، يتم تحديد درجة الموثوقية المطلوبة مسبقًا. يتم تحديده من خلال الاحتياجات العملية (على سبيل المثال، يتم فرض متطلبات أكثر صرامة على أجزاء محرك الطائرة مقارنة بمحرك القارب). من الواضح أنه للحصول على قدر أكبر من الموثوقية، يلزم زيادة عدد القياسات ودقتها.

نظرًا لحقيقة أن الأخطاء العشوائية للقياسات الفردية تخضع للقوانين الاحتمالية، فإن طرق الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات تجعل من الممكن حساب جذر متوسط مربع الخطأ لقيمة المتوسط الحسابي دي إكس sl. دعونا نكتب صيغة الحساب بدون دليل دي إكس cl لعدد صغير من القياسات ( ن < 30).

تسمى الصيغة صيغة الطالب:

أين ر n,p - معامل الطالب حسب عدد القياسات نواحتمال الثقة ر.

ويرد معامل الطالب من الجدول أدناه، بعد أن تم تحديد القيم مسبقًا بناءً على الاحتياجات العملية (كما ذكرنا أعلاه). نو ر.

عند معالجة نتائج العمل المختبري، يكفي إجراء 3-5 قياسات، واتخاذ احتمال الثقة يساوي 0.68.

ولكن يحدث أنه مع قياسات متعددة يتم الحصول على نفس القيم X. على سبيل المثال، قمنا بقياس قطر السلك 5 مرات وحصلنا على نفس القيمة 5 مرات. لذلك، هذا لا يعني على الإطلاق أنه لا يوجد خطأ. وهذا يعني فقط أن الخطأ العشوائي لكل قياس يكون أصغر دقةالجهاز د، والذي يسمى أيضًا غرفة الآلات،أو مفيدة، خطأ. يتم تحديد الخطأ الآلي للجهاز d من خلال فئة دقة الجهاز المحددة في جواز سفره، أو المشار إليها على الجهاز نفسه. وأحيانا يؤخذ على أنه يساوي سعر قسمة الجهاز (سعر قسمة الجهاز هو قيمة القسمة الأصغر له) أو نصف سعر القسمة (إذا أمكن تحديد نصف سعر قسمة الجهاز تقريبا عن طريق عين).

وبما أن كل من القيم Xلقد تم الحصول على خطأ d، ثم فترة الثقة الكاملة دي إكس، أو خطأ القياس المطلق، يتم حسابه باستخدام الصيغة:

لاحظ أنه إذا كانت إحدى الكميتين في الصيغة (أ.3) أكبر بثلاث مرات على الأقل من الأخرى، فسيتم إهمال الكمية الأصغر.

الخطأ المطلق في حد ذاته لا يعكس جودة القياسات المأخوذة. على سبيل المثال، فقط بناءً على المعلومات التي تفيد بأن الخطأ المطلق هو 0.002 متر مربع، لا يمكن للمرء الحكم على مدى جودة إجراء هذا القياس. يتم إعطاء فكرة عن جودة القياسات التي تم إجراؤها بواسطة خطأ نسبي e، يساوي نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة المتوسطة للقيمة المقاسة. يوضح الخطأ النسبي نسبة الخطأ المطلق للقيمة المقاسة. كقاعدة عامة، يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية:

لنلقي نظرة على مثال. دع قطر الكرة يقاس باستخدام الميكرومتر، الخطأ الآلي فيه هو d = 0.01 مم. ونتيجة لثلاثة قياسات تم الحصول على قيم القطر التالية:

د 1 = 2.42 ملم، د 2 = 2.44 ملم، د 3 = 2.48 ملم.

وباستخدام الصيغة (أ.1)، يتم تحديد القيمة المتوسطة الحسابية لقطر الكرة

ثم، باستخدام جدول معاملات الطالب، وجدوا أنه بالنسبة لمستوى ثقة قدره 0.68 بثلاثة قياسات رن، ع = 1.3. ومن ثم، باستخدام الصيغة (أ.2)، يتم حساب خطأ القياس العشوائي د sl

وبما أن الخطأ العشوائي الناتج يبلغ ضعف حجم الخطأ الآلي فقط، عندئذ عند إيجاد خطأ القياس المطلق دووفقاً لـ (أ.3) ينبغي مراعاة كل من الخطأ العشوائي وخطأ الأداة، أي.

مم » ± 0.03 مم.

تم تقريب الخطأ إلى أجزاء من مائة من المليمتر، حيث لا يمكن أن تتجاوز دقة النتيجة دقة جهاز القياس، وهو في هذه الحالة 0.01 ملم.

وبالتالي فإن قطر السلك هو

يشير هذا الإدخال إلى أن القيمة الحقيقية لقطر الكرة باحتمال 68% تكمن في الفاصل الزمني (2.42¸ 2.48) ملم.

الخطأ النسبي e للقيمة التي تم الحصول عليها وفقا لـ (أ.4) هو