محاسبه خطاهای ظرفیت با استفاده از ضریب دانشجو. محاسبه خطا در اندازه گیری قدرت و مقاومت. خطای مطلق و نسبی مثالی از محاسبه خطای مطلق اندازه گیری

تورم سر

شماره اندازه گیری

5.4. محاسبه خطای کل

خطای مطلق

; .

5. خطای نسبی، یا دقت اندازه گیری

; E = 0.5٪.

6. نتیجه نهایی را ثبت کنید

نتیجه نهایی برای مقدار مورد مطالعه در فرم نوشته شده است

توجه داشته باشید. در ضبط نهایی، تعداد ارقام نتیجه و خطای مطلق باید یکسان باشد.

6. نمایش گرافیکی نتایج اندازه گیری

نتایج اندازه گیری های فیزیکی اغلب به صورت گرافیکی ارائه می شود. نمودارها دارای تعدادی مزیت مهم و ویژگی های ارزشمند هستند:

الف) تعیین نوع وابستگی عملکردی و حدودی که در آن معتبر است را ممکن می سازد.

ب) امکان مقایسه واضح داده های تجربی با منحنی نظری را فراهم می کند.

ج) هنگام ساخت یک نمودار، آنها جهش های در مسیر تابع را که به دلیل خطاهای تصادفی ایجاد می شود، صاف می کنند.

د) تعیین مقادیر معین یا انجام تمایز گرافیکی، ادغام، حل معادلات و غیره را ممکن می سازد.

نمودارها، به عنوان یک قاعده، بر روی کاغذ مخصوص (میلی متر، لگاریتمی، نیمه لگاریتمی) ساخته می شوند. مرسوم است که متغیر مستقل را در امتداد محور افقی ترسیم کنید، یعنی مقداری که مقدار آن توسط خود آزمایشگر تعیین می شود، و در امتداد محور عمودی - مقداری که او تعیین می کند. باید در نظر داشت که تقاطع محورهای مختصات نباید با مقادیر صفر x و y منطبق باشد. هنگام انتخاب مبدا مختصات، باید با این واقعیت هدایت شوید که کل منطقه نقاشی به طور کامل استفاده شده است (شکل 2.).

در محورهای مختصات نمودار، نه تنها نام یا نماد کمیت ها، بلکه واحدهای اندازه گیری آنها نیز مشخص شده است. مقیاس در امتداد محورهای مختصات باید به گونه ای انتخاب شود که نقاط اندازه گیری شده در کل منطقه ورق قرار گیرند. در این حالت، مقیاس باید ساده باشد تا هنگام ترسیم نقاط روی نمودار مجبور به انجام محاسبات حسابی در ذهن خود نباشید.

نقاط آزمایشی روی نمودار باید به طور دقیق و واضح به تصویر کشیده شوند. ترسیم نقاط به دست آمده در شرایط آزمایشی مختلف (به عنوان مثال گرمایش و سرمایش) در رنگ های مختلف یا با نمادهای مختلف مفید است. اگر خطای آزمایش مشخص باشد، بهتر است به جای نقطه، یک صلیب یا مستطیل را به تصویر بکشید که ابعاد آن در امتداد محورها با این خطا مطابقت دارد. اتصال نقاط آزمایشی به یکدیگر با خط شکسته توصیه نمی شود. منحنی روی نمودار باید به آرامی رسم شود و مطمئن شوید که نقاط آزمایشی هم در بالا و هم در زیر منحنی قرار دارند، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است.

هنگام ساخت نمودارها، علاوه بر سیستم مختصات با مقیاس یکنواخت، به اصطلاح از مقیاس های تابعی استفاده می شود. با انتخاب توابع مناسب x و y، می توانید خط ساده تری در نمودار نسبت به ساختار معمولی بدست آورید. این اغلب هنگام انتخاب فرمولی برای یک نمودار معین برای تعیین پارامترهای آن ضروری است. از مقیاس های عملکردی نیز در مواردی استفاده می شود که لازم است هر بخش از منحنی روی نمودار کشیده یا کوتاه شود. رایج ترین مقیاس عملکردی مورد استفاده، مقیاس لگاریتمی است (شکل 4).

در عصر ما، انسان انواع و اقسام ابزارهای اندازه گیری را اختراع کرده و از آن استفاده می کند. اما مهم نیست که فناوری ساخت آنها چقدر عالی باشد، همه آنها خطای کمتر یا بیشتر دارند. این پارامتر، به عنوان یک قاعده، بر روی خود ابزار نشان داده شده است، و برای ارزیابی دقت مقدار تعیین شده، باید بتوانید درک کنید که اعداد نشان داده شده در علامت گذاری به چه معناست. علاوه بر این، خطاهای نسبی و مطلق ناگزیر در طی محاسبات پیچیده ریاضی ایجاد می شوند. این به طور گسترده در آمار، صنعت (کنترل کیفیت) و در تعدادی از زمینه های دیگر استفاده می شود. نحوه محاسبه این مقدار و نحوه تفسیر مقدار آن - این دقیقاً همان چیزی است که در این مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.

خطای مطلق

اجازه دهید مقدار تقریبی یک کمیت را که مثلاً از طریق یک اندازه گیری به دست می آید، با x و مقدار دقیق آن را با x نشان دهیم. حال بیایید مقدار اختلاف بین این دو عدد را محاسبه کنیم. خطای مطلق دقیقاً همان مقداری است که در نتیجه این عملیات ساده به دست آوردیم. این تعریف به زبان فرمول ها را می توان به شکل زیر نوشت: Δ x = | x - x 0 |.

خطای مربوطه

انحراف مطلق یک اشکال مهم دارد - امکان ارزیابی درجه اهمیت خطا را نمی دهد. مثلا ما در بازار 5 کیلو سیب زمینی می خریم و فروشنده بی وجدان هنگام اندازه گیری وزن اشتباه 50 گرمی به نفع خود می کند. یعنی خطای مطلق 50 گرم بود. برای ما چنین بی توجهی یک چیز بیهوده خواهد بود و حتی به آن توجه نخواهیم کرد. تصور کنید اگر خطای مشابهی در هنگام تهیه دارو رخ دهد چه اتفاقی می افتد؟ در اینجا همه چیز بسیار جدی تر خواهد بود. و هنگام بارگیری واگن باری، انحرافات به احتمال زیاد بسیار بیشتر از این مقدار رخ می دهد. بنابراین، خود خطای مطلق چندان آموزنده نیست. علاوه بر آن، اغلب آنها انحراف نسبی را نیز محاسبه می کنند که برابر با نسبت خطای مطلق به مقدار دقیق عدد است. این با فرمول زیر نوشته می شود: δ = Δ x / x 0 .

ویژگی های خطا

فرض کنید دو کمیت مستقل داریم: x و y. ما باید انحراف مقدار تقریبی مجموع آنها را محاسبه کنیم. در این صورت می توان خطای مطلق را به صورت مجموع انحرافات مطلق از پیش محاسبه شده هر یک از آنها محاسبه کرد. در برخی از اندازه گیری ها، ممکن است اتفاق بیفتد که اشتباهات در تعیین مقادیر x و y یکدیگر را خنثی کنند. یا ممکن است در نتیجه اضافه شدن، انحرافات حداکثر تشدید شود. بنابراین، هنگامی که کل خطای مطلق محاسبه می شود، بدترین سناریو باید در نظر گرفته شود. همین امر برای تفاوت بین خطاهای چند کمیت نیز صادق است. این خاصیت فقط مربوط به خطای مطلق است و نمی توان آن را برای انحراف نسبی اعمال کرد، زیرا این امر به ناچار منجر به نتیجه نادرست می شود. بیایید با استفاده از مثال زیر به این وضعیت نگاه کنیم.

فرض کنید اندازه گیری های داخل سیلندر نشان داد که شعاع داخلی (R 1) 97 میلی متر و شعاع بیرونی (R 2) 100 میلی متر است. تعیین ضخامت دیواره آن ضروری است. ابتدا بیایید تفاوت را پیدا کنیم: h = R 2 - R 1 = 3 میلی متر. اگر مشکل نشان دهد که خطای مطلق چیست، آنگاه به عنوان نصف تقسیم مقیاس دستگاه اندازه گیری در نظر گرفته می شود. بنابراین، Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 میلی متر. کل خطای مطلق است: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 میلی متر. حالا بیایید انحراف نسبی همه مقادیر را محاسبه کنیم:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005،

δ(R1) = 0.5/97 ≈ 0.0052،

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

همانطور که می بینید، خطا در اندازه گیری هر دو شعاع از 5.2٪ بیشتر نمی شود و خطا در محاسبه اختلاف آنها - ضخامت دیواره سیلندر - به اندازه 33.(3)٪ بود!

ویژگی زیر بیان می کند: انحراف نسبی حاصلضرب چند عدد تقریباً برابر است با مجموع انحرافات نسبی هر عامل:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

علاوه بر این، این قانون صرف نظر از تعداد مقادیر مورد ارزیابی معتبر است. سومین و آخرین ویژگی خطای نسبی این است که تخمین نسبی توان kth تقریباً | است k | برابر خطای نسبی عدد اصلی

اجازه دهید خطاهای سیستماتیک در اندازه گیری ها ناچیز باشد. اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که اندازه گیری تعداد زیادی بار انجام شود (n→∞).

همانطور که تجربه نشان می دهد، انحراف نتایج اندازه گیری از مقدار متوسط آنها به بالا یا پایین یکسان است. نتایج اندازه گیری با انحرافات کوچک از مقدار متوسط بسیار بیشتر از انحرافات بزرگ مشاهده می شود.

اجازه دهید تمام مقادیر عددی نتایج اندازه گیری را در یک سری به ترتیب صعودی مرتب کنیم و این سری را به فواصل مساوی تقسیم کنیم.
. اجازه دهید - تعداد اندازه گیری ها با نتایج در بازه [
]. اندازه
یک احتمال ΔP i (x) برای به دست آوردن نتیجه ای با مقدار در بازه [ وجود دارد
].

بیایید آن را به صورت گرافیکی ارائه کنیم
، مربوط به هر بازه [
] (عکس. 1). منحنی پلکانی نشان داده شده در شکل 1 هیستوگرام نامیده می شود. فرض کنید که دستگاه اندازه گیری حساسیت بسیار بالایی دارد. سپس عرض بازه را می توان بینهایت کوچک dx کرد. منحنی پلکانی در این مورد با منحنی نشان داده شده توسط تابع φ(x) جایگزین می شود (شکل 2). تابع φ(x) معمولاً تابع چگالی توزیع نامیده می شود. معنی آن این است که حاصل ضرب φ(x)dx احتمال dP(x) بدست آوردن نتایج با مقداری در محدوده x تا x+dx است. از نظر گرافیکی، مقدار احتمال به عنوان مساحت یک مستطیل سایه دار نشان داده می شود. به صورت تحلیلی، تابع چگالی توزیع به صورت زیر نوشته می شود:

. (5)

تابع φ(x) ارائه شده به شکل (5) تابع گاوسی نامیده می شود و توزیع متناظر نتایج اندازه گیری گاوسی یا نرمال است.

گزینه ها
و σ معنی زیر را دارند (شکل 2).

- مقدار متوسط نتایج اندازه گیری. در
=
تابع گاوسی به حداکثر مقدار خود می رسد. اگر تعداد ابعاد بی نهایت زیاد باشد، پس
برابر با مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده است.

σ - درجه پراکندگی نتایج اندازه گیری را از مقدار متوسط آنها مشخص می کند. پارامتر σ با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

. (6)

این پارامتر نشان دهنده ریشه میانگین مربعات خطا است. کمیت σ 2 در تئوری احتمال، پراکندگی تابع φ(x) نامیده می شود.

هرچه دقت اندازه‌گیری بیشتر باشد، نتایج اندازه‌گیری به مقدار واقعی کمیت اندازه‌گیری شده نزدیک‌تر است و بنابراین، σ کوچک‌تر است.

شکل تابع φ(x) بدیهی است که به تعداد ابعاد بستگی ندارد.

تئوری احتمال نشان می دهد که 68٪ از تمام اندازه گیری ها نتیجه ای را در بازه، 95٪ در بازه و 99.7٪ در بازه به دست می دهند.

بنابراین، با احتمال (قابلیت اطمینان) 68٪، انحراف نتیجه اندازه گیری از مقدار متوسط در بازه [
]، با احتمال (پایایی) 95٪ - در بازه [
] و با احتمال (پایایی) 99.7% – در بازه [
].

فاصله مربوط به یک احتمال خاص از انحراف از مقدار متوسط را اطمینان می نامند.

در آزمایش های واقعی، تعداد ابعاد به وضوح نمی تواند بی نهایت زیاد باشد، بنابراین بعید است که چنین باشد
منطبق با مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده است
. در این راستا، برآورد میزان انحراف احتمالی بر اساس نظریه احتمال حائز اهمیت است.
از جانب
.

محاسبات نشان می دهد که وقتی تعداد اندازه گیری ها بیش از 20 باشد، با احتمال 68٪
در فاصله اطمینان [
]، با احتمال 95٪ - در بازه [
]، با احتمال 99.7٪ – در بازه [
].

اندازه که مرزهای فاصله اطمینان را مشخص می کند، انحراف معیار یا به سادگی استاندارد نامیده می شود.

استاندارد با فرمول محاسبه می شود:

. (7)

با در نظر گرفتن فرمول (6)، عبارت (7) شکل زیر را به خود می گیرد:

. (8)

هر چه تعداد ابعاد n بیشتر باشد، X به آن نزدیکتر است
. اگر تعداد اندازه گیری ها بزرگ نباشد، کمتر از 15 باشد، به جای توزیع گاوسی، از توزیع Student استفاده می شود که منجر به افزایش عرض فاصله اطمینان انحراف احتمالی X از
int n، p بار.

عامل t n, p را ضریب Student می نامند. شاخص های P و n نشان می دهد که ضریب Student با چه پایایی و با چه تعداد اندازه گیری مطابقت دارد. مقدار ضریب Student برای تعداد معینی از اندازه‌گیری‌ها و یک پایایی معین مطابق جدول 1 تعیین می‌شود.

میز 1

ضریب دانش آموزی.

به عنوان مثال، با پایایی معین 95٪ و تعداد اندازه گیری ها n = 20، ضریب دانشجویی t 20.95 = 2.1 (فاصله اطمینان
) با تعداد اندازه گیری n=4، t 4.95 =3.2 (فاصله اطمینان
). یعنی با افزایش تعداد اندازه گیری ها از 4 به 20 انحراف احتمالی
fromX 1.524 برابر کاهش می یابد.

در زیر مثالی از محاسبه خطای تصادفی مطلق آورده شده است

		X i -	(Х i - ) 2

با استفاده از فرمول (2) مقدار متوسط مقدار اندازه گیری شده را پیدا می کنیم
(بدون نشان دادن بعد کمیت فیزیکی)

با استفاده از فرمول (8) انحراف معیار را محاسبه می کنیم

ضریب دانش آموز برای n=6 و P=95%، t 6.95=2.6 نتیجه نهایی تعیین شد:

X=20.1±2.6·0.121=20.1±0.315 (با P=95%).

ما خطای نسبی را محاسبه می کنیم:

هنگام ثبت نتیجه اندازه گیری نهایی، باید در نظر داشت که خطا باید فقط یک رقم قابل توجه (غیر از صفر) داشته باشد. دو رقم قابل توجه در خطا فقط در صورتی ثبت می شود که رقم ماقبل آخر 1 باشد. ثبت تعداد بیشتر ارقام قابل توجه بی فایده است، زیرا قابل اعتماد نیستند. در ثبت مقدار متوسط مقدار اندازه گیری شده، آخرین رقم باید به همان رقمی باشد که رقم آخر در ثبت خطا وجود دارد.

X=(243±5)·10 2;

X=232.567±0.003.

انجام چندین اندازه گیری ممکن است نتیجه یکسانی داشته باشد. این در صورتی امکان پذیر است که حساسیت دستگاه اندازه گیری کم باشد. هنگامی که اندازه گیری با دستگاهی با حساسیت کم انجام می شود، یک اندازه گیری کافی است. برای مثال، اندازه گیری مکرر طول میز با یک متر نواری با تقسیمات سانتی متری، منطقی نیست. نتیجه اندازه گیری در این مورد یکسان خواهد بود. خطا در حین یک اندازه گیری با مقدار کوچکترین تقسیم دستگاه تعیین می شود. به آن خطای ابزار می گویند. معنای آن
با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

, (10)

جایی که γ قیمت تقسیم دستگاه است.

t ∞، p - ضریب دانشجویی مربوط به تعداد بی نهایت زیادی از اندازه گیری ها.

با در نظر گرفتن خطای ابزار، خطای مطلق با قابلیت اطمینان معین با فرمول تعیین می شود:

, (11)

جایی که
.

با در نظر گرفتن فرمول های (8) و (10)، (11) به صورت زیر نوشته می شود:

. (12)

در ادبیات، برای کوتاه کردن رکورد، گاهی اوقات بزرگی خطا نشان داده نمی شود. بزرگی خطا نصف یکی از آخرین رقم مهم در نظر گرفته می شود. برای مثال شعاع زمین به شکل نوشته شده است
m این بدان معناست که خطا باید به عنوان مقدار ± در نظر گرفته شود
متر

برآورد خطاهای نتایج اندازه گیری

خطاهای اندازه گیری و انواع آنها

هر اندازه‌گیری همیشه با برخی خطاهای مرتبط با دقت محدود ابزار اندازه‌گیری، انتخاب اشتباه و خطای روش اندازه‌گیری، فیزیولوژی آزمایشگر، ویژگی‌های اجسام مورد اندازه‌گیری، تغییرات شرایط اندازه‌گیری و غیره انجام می‌شود. وظیفه اندازه گیری شامل یافتن نه تنها خود مقدار، بلکه خطای اندازه گیری، یعنی فاصله ای است که به احتمال زیاد مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده در آن قرار دارد. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری یک دوره زمانی t با کرونومتر با مقدار تقسیم 0.2 ثانیه، می توان گفت که مقدار واقعی آن در بازه زمانی https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 است. .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> و X مقادیر واقعی و اندازه گیری شده کمیت مورد مطالعه هستند، به ترتیب. کمیت نامیده می شود خطای مطلق(خطا) اندازه گیری و بیان ، که مشخص کننده دقت اندازه گیری است، نامیده می شود خطای مربوطه.

این کاملا طبیعی است که آزمایشگر بخواهد هر اندازه گیری را با بیشترین دقت قابل دستیابی انجام دهد، اما چنین رویکردی همیشه توصیه نمی شود. هر چه بخواهیم این یا آن کمیت را دقیق‌تر اندازه‌گیری کنیم، ابزارهای پیچیده‌تری که باید استفاده کنیم، به زمان بیشتری نیاز دارند. بنابراین، دقت نتیجه نهایی باید با هدف آزمایش مطابقت داشته باشد. تئوری خطاها توصیه هایی در مورد چگونگی اندازه گیری ها و نحوه پردازش نتایج به طوری که خطا حداقل باشد، ارائه می دهد.

همه خطاهای ناشی از اندازه گیری معمولا به سه نوع تقسیم می شوند - خطاهای سیستماتیک، تصادفی و اشتباه، یا خطاهای فاحش.

خطاهای سیستماتیکناشی از دقت تولید محدود دستگاه ها (خطاهای ابزار دقیق)، کاستی های روش اندازه گیری انتخاب شده، عدم دقت فرمول محاسبه، نصب نادرست دستگاه و غیره است. اندازه گیری های مشابه بارها تکرار می شود. بزرگی این خطا به طور سیستماتیک تکرار می شود یا طبق قانون خاصی تغییر می کند. برخی از خطاهای سیستماتیک را می توان با تغییر روش اندازه گیری، انجام اصلاحات در قرائت ابزار و در نظر گرفتن تأثیر مداوم عوامل خارجی حذف کرد (در عمل همیشه به راحتی می توان به آن دست یافت).

اگرچه خطای سیستماتیک (ابزاری) در اندازه گیری های مکرر باعث انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی در یک جهت می شود، ما هرگز نمی دانیم در کدام جهت. بنابراین خطای ابزار با علامت دوگانه نوشته می شود

خطاهای تصادفیدر اثر تعداد زیادی علل تصادفی (تغییرات دما، فشار، لرزش ساختمان و غیره) ایجاد می‌شوند که تأثیرات آن در هر اندازه‌گیری متفاوت است و نمی‌توان آن را از قبل در نظر گرفت. خطاهای تصادفی نیز به دلیل نقص حواس آزمایشگر رخ می دهد. خطاهای تصادفی همچنین شامل خطاهای ناشی از ویژگی های جسم اندازه گیری شده است.

حذف خطاهای تصادفی در اندازه گیری های فردی غیرممکن است، اما می توان با انجام اندازه گیری های متعدد، تأثیر این خطاها را بر نتیجه نهایی کاهش داد. اگر مشخص شود که خطای تصادفی به طور قابل توجهی کمتر از خطای ابزاری (سیستماتیک) است، دیگر هیچ فایده ای برای کاهش بیشتر مقدار خطای تصادفی با افزایش تعداد اندازه گیری ها وجود ندارد. اگر خطای تصادفی بیشتر از خطای ابزار باشد، باید تعداد اندازه‌گیری‌ها را افزایش داد تا مقدار خطای تصادفی کاهش یابد و از مقدار خطای دستگاه کمتر یا به همان ترتیب بزرگی باشد.

اشتباهات یا اشتباهات- اینها خوانش های نادرست روی دستگاه، ضبط نادرست خواندن و غیره هستند. به عنوان یک قاعده، خطاهای ناشی از دلایل ذکر شده به وضوح قابل توجه است، زیرا قرائت های مربوطه به شدت با سایر قرائت ها متفاوت است. اشتباهات باید با اندازه گیری های کنترلی حذف شوند. بنابراین، عرض فاصله ای که مقادیر واقعی مقادیر اندازه گیری شده در آن قرار دارند، تنها با خطاهای تصادفی و سیستماتیک تعیین می شود.

2. برآورد خطای سیستماتیک (ابزار).

برای اندازه گیری مستقیممقدار کمیت اندازه گیری شده مستقیماً در مقیاس دستگاه اندازه گیری شمارش می شود. خطا در خواندن می تواند به چند دهم تقسیم مقیاس برسد. به طور معمول، در چنین اندازه گیری ها، خطای سیستماتیک برابر با نصف تقسیم مقیاس ابزار اندازه گیری در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری با کولیس با مقدار تقسیم 0.05 میلی متر، مقدار خطای اندازه گیری دستگاه برابر با 0.025 میلی متر در نظر گرفته می شود.

ابزارهای اندازه گیری دیجیتال مقدار کمیت هایی را که اندازه گیری می کنند با خطای برابر با مقدار یک واحد آخرین رقم در مقیاس ابزار نشان می دهند. بنابراین، اگر یک ولت متر دیجیتال مقدار 20.45 میلی ولت را نشان دهد، خطای اندازه گیری مطلق برابر با میلی ولت است.

خطاهای سیستماتیک همچنین هنگام استفاده از مقادیر ثابت تعیین شده از جداول رخ می دهد. در چنین مواردی، خطا برابر با نصف آخرین رقم مهم در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، اگر در جدول مقدار چگالی فولاد 7.9∙103 کیلوگرم بر متر مکعب باشد، خطای مطلق در این حالت برابر است با https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">فرمول استفاده شده است

, (1)

که در آن https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">، مشتقات جزئی تابع با توجه به متغیر https://pandia هستند. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

مشتقات جزئی با توجه به متغیرها دو ساعتبرابر خواهد بود

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

بنابراین، فرمول تعیین خطای سیستماتیک مطلق هنگام اندازه گیری حجم یک استوانه مطابق با شکل زیر است:

خطاهای ابزار هنگام اندازه گیری قطر و ارتفاع سیلندر کجا و هستند

3. برآورد خطای تصادفی.

فاصله اطمینان و احتمال اطمینان

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - تابع توزیع خطاهای تصادفی (خطا)، مشخص کننده احتمال خطا، σ - میانگین مربعات خطا.

کمیت σ یک متغیر تصادفی نیست و فرآیند اندازه گیری را مشخص می کند. اگر شرایط اندازه گیری تغییر نکند، σ یک مقدار ثابت می ماند. مربع این کمیت نامیده می شود پراکندگی اندازه گیریهرچه پراکندگی کوچکتر باشد، گسترش مقادیر فردی کمتر و دقت اندازه گیری بالاتر است.

مقدار دقیق میانگین مربع خطای σ و همچنین مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده ناشناخته است. یک تخمین به اصطلاح آماری از این پارامتر وجود دارد که بر اساس آن میانگین مربعات خطا برابر با میانگین مربعات خطای میانگین حسابی است. که مقدار آن با فرمول تعیین می شود

, (3)

که در آن https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> میانگین حسابی مقادیر به دست آمده است. n- تعداد اندازه گیری ها

هرچه تعداد اندازه‌گیری‌ها بیشتر باشد، https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src="> و خطای مطلق تصادفی کمتر می‌شود. نتیجه اندازه گیری در فرم https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> به ثبت می شود که حاوی مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده است. μ نامیده می شود فاصله اطمینان.از آنجایی که https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> نزدیک به σ است. برای یافتن فاصله اطمینان و احتمال اطمینان با یک تعداد کمی از اندازه گیری ها که در حین کار آزمایشگاهی با آنها سروکار داریم استفاده می شود توزیع احتمال دانش آموزاناین توزیع احتمال یک متغیر تصادفی به نام است ضریب دانش آموزی، مقدار فاصله اطمینان را در کسری از ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی نشان می دهد.

توزیع احتمال این کمیت به σ2 بستگی ندارد، اما به طور قابل توجهی به تعداد آزمایش ها بستگی دارد. nبا افزایش تعداد آزمایشات nتوزیع دانشجویی به توزیع گاوسی گرایش دارد.

تابع توزیع جدول بندی شده است (جدول 1). مقدار ضریب Student در تقاطع خط مربوط به تعداد اندازه گیری ها است nو ستون مربوط به احتمال اطمینان α

میز 1.

با استفاده از داده های جدول می توانید:

1) فاصله اطمینان را با توجه به احتمال مشخص تعیین کنید.

2) فاصله اطمینان را انتخاب کنید و احتمال اطمینان را تعیین کنید.

برای اندازه‌گیری‌های غیرمستقیم، میانگین مربعات خطای میانگین حسابی تابع با فرمول محاسبه می شود

. (5)

فاصله اطمینان و احتمال اطمینان به همان روشی که در مورد اندازه گیری مستقیم تعیین می شود.

تخمین کل خطای اندازه گیری نتیجه نهایی را ثبت کنید.

خطای کل نتیجه اندازه گیری مقدار X به عنوان ریشه میانگین مربعات خطاهای سیستماتیک و تصادفی تعیین می شود.

, (6)

جایی که δх –خطای ابزار، Δ ایکس- خطای تصادفی

X می تواند یک کمیت اندازه گیری مستقیم یا غیرمستقیم باشد.

, α=…, E=… (7)

باید در نظر داشت که فرمول های تئوری خطا خود برای تعداد زیادی اندازه گیری معتبر هستند. بنابراین، مقدار تصادفی، و در نتیجه خطای کل، در اندازه کوچک تعیین می شود nبا یک اشتباه بزرگ هنگام محاسبه Δ ایکسبا تعداد اندازه‌گیری‌ها، توصیه می‌شود یک عدد معنی‌دار اگر بزرگ‌تر از 3 باشد و دو عدد اگر اولین رقم معنی‌دار کمتر از 3 باشد، محدود شود. برای مثال، اگر Δ ایکس= 0.042، سپس 2 را کنار می گذاریم و Δ را می نویسیم ایکس 0.04 =، و اگر Δ ایکس=0.123، سپس Δ را می نویسیم ایکس=0,12.

تعداد ارقام نتیجه و خطای کل باید یکسان باشد. بنابراین، میانگین حسابی خطا باید یکسان باشد. بنابراین، میانگین حسابی ابتدا یک رقم بیشتر از اندازه گیری محاسبه می شود و هنگام ثبت نتیجه، مقدار آن به تعداد ارقام خطای کل پالایش می شود.

4. روش برای محاسبه خطاهای اندازه گیری.

خطاهای اندازه گیری مستقیم

هنگام پردازش نتایج اندازه گیری های مستقیم، توصیه می شود ترتیب عملیات زیر را اتخاذ کنید.

اندازه گیری یک پارامتر فیزیکی معین انجام می شود n بارها در شرایط یکسان،و نتایج در یک جدول ثبت می شود. اگر نتایج برخی از اندازه‌گیری‌ها به‌شدت از نظر ارزش با اندازه‌گیری‌های دیگر تفاوت داشته باشد، در صورتی که پس از تأیید تأیید نشوند، به‌عنوان اشتباه کنار گذاشته می‌شوند. میانگین حسابی n اندازه گیری یکسان محاسبه می شود. به عنوان محتمل ترین مقدار کمیت اندازه گیری شده در نظر گرفته می شود

خطاهای مطلق اندازه گیری های منفرد یافت می شود ایکس i) 2 ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی تعیین می شود

مقدار احتمال اطمینان α تنظیم شده است. در آزمایشگاه های کارگاهی مرسوم است که α=0.95 تنظیم شود. ضریب Student برای یک احتمال اطمینان داده شده α یافت می شود و تعداد اندازه گیری های انجام شده (به جدول مراجعه کنید) تعیین می شود

خطای کل مشخص می شود

خطای نسبی نتیجه اندازه گیری تخمین زده می شود

نتیجه نهایی در فرم نوشته شده است

C α=… E=…%.

5. خطای اندازه گیری های غیر مستقیم

هنگام ارزیابی مقدار واقعی یک مقدار غیرمستقیم اندازه گیری شده https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">، می توان از دو روش استفاده کرد.

راه اولاستفاده می شود اگر مقدار yتحت شرایط آزمایشی مختلف تعیین می شود. در این حالت برای هر یک از مقادیر محاسبه می شود ، و سپس میانگین حسابی همه مقادیر مشخص می شود یی

خطای سیستماتیک (ابزاری) بر اساس خطاهای ابزاری شناخته شده همه اندازه گیری ها با استفاده از فرمول پیدا می شود. خطای تصادفی در این مورد به عنوان خطای اندازه گیری مستقیم تعریف می شود.

راه دوماگر این تابع اعمال می شود yچندین بار با اندازه گیری های یکسان تعیین می شود..gif" width="75" height="24">. در آزمایشگاه ما، روش دوم تعیین کمیت اندازه گیری شده غیرمستقیم بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. yخطای سیستماتیک (دستگاهی)، مانند روش اول، بر اساس خطاهای ابزاری شناخته شده همه اندازه گیری ها با استفاده از فرمول پیدا می شود.

. (10)

برای یافتن خطای تصادفی یک اندازه گیری غیرمستقیم، ابتدا ریشه میانگین مربعات خطاهای میانگین حسابی اندازه گیری های فردی محاسبه می شود. سپس میانگین مربعات خطای مقدار پیدا می شود yتنظیم احتمال اطمینان α، پیدا کردن ضریب دانشجو https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">، با α=… E=…% .

6. نمونه طراحی کار آزمایشگاهی

کار آزمایشگاهی شماره 1

تعیین حجم سیلندر

تجهیزات جانبی:کولیس با مقدار تقسیم 0.05 میلی متر، میکرومتر با مقدار تقسیم 0.01 میلی متر، بدنه استوانه ای شکل.

هدف کار:آشنایی با ساده ترین اندازه گیری های فیزیکی، تعیین حجم سیلندر، محاسبه خطا در اندازه گیری های مستقیم و غیر مستقیم.

قطر سیلندر را حداقل 5 بار با کولیس و ارتفاع آن را با میکرومتر اندازه بگیرید.

فرمول محاسبه برای محاسبه حجم سیلندر

که در آن d قطر سیلندر است. h - ارتفاع.

نتایج اندازه گیری

جدول 2.

کلاس های دقت ابزار

کلاس دقت ابزار اندازه گیری حدود خطاهای اصلی و اضافی مجاز را تعیین می کند. این محدودیت ها به صورت کاهش خطاهای نسبی، نسبی یا مطلق بیان می شوند. اگر خطای افزایشی یک ابزار اندازه گیری بر ضربی غالب باشد، کلاس دقت به صورت یک خطای نسبی کاهش یافته بیان می شود:

جایی که آر– عدد مثبت انتزاعی انتخاب شده از سری ( n= 1، 0، -1، -2، -3...). برای دستگاه های آنالوگ معمولا آرمقادیر 0.05 را می گیرد. 0.1; 0.2; 0.5; 1 1.5; 2.5; 4.

اگر خطای ضربی یک ابزار اندازه‌گیری بر خطای افزایشی غالب باشد، کلاس دقت از طریق خطای نسبی بیان می‌شود:

برای ابزارهای اندازه گیری با خطاهای افزایشی و ضربی، کلاس دقت با فرمول دو جمله ای بیان می شود:

جایی که و اعدادی از سری فوق هستند و , مقدار نهایی محدوده اندازه گیری دستگاه است و مقدار اندازه گیری شده است. به طور معمول، این روش برای بیان کلاس دقت برای ابزارهای دیجیتال، اندازه گیری های چند ارزشی و دستگاه های مقایسه استفاده می شود.

برای ابزارهای آنالوگ، تعیین کلاس دقت در پانل جلویی قرار می گیرد. اگر کلاس دقت برابر با خطای نسبی کاهش یافته باشد، کلاس دقت به عنوان یک عدد از سری بالا نشان داده می شود، به عنوان مثال: 0,5 . اگر مقیاس ابزار به طور قابل توجهی ناهموار باشد، کلاس دقت به عنوان یک عدد با یک تیک نشان داده می شود، و اگر کلاس دقت بر حسب خطای نسبی بیان شود، آنگاه عدد از سری به عنوان مثال در داخل پرانتز قرار می گیرد. (2,5) یا در یک دایره

برای ابزارهای اندازه گیری با خطاهای افزایشی و ضربی، کلاس دقت به عنوان کسری بیان می شود، برای مثال 0,02/0,01 .

خطاهای اندازه گیری را می توان به سه دسته تقسیم کرد:

الف) سیستماتیک؛ ب) تصادفی؛ ج) اشتباهات

خطاهای سیستماتیک عبارتند از:

- وسیلهخطاهایی که به نوبه خود شامل خطای ابزار (کلاس دقت) و خطای تعامل دستگاه اندازه گیری با منبع سیگنال (بسته به مقاومت ورودی دستگاه) است.

- اضافیخطاهای ناشی از تأثیر عوامل خارجی (دما، میدان مغناطیسی و غیره)؛

- خطاهای شخصی، ناشی از ویژگی های فردی ناظر؛

خطاها روش اندازه گیری.

به عنوان مثال، خطای برهمکنش ابزار اندازه گیری با منبع سیگنال هنگام اندازه گیری جریان در مدار با مقاومت و مقاومت آمپرمتر برابر است با:

خطای برهمکنش ابزار اندازه گیری با منبع سیگنال هنگام اندازه گیری ولتاژ در قسمتی از مدار با مقاومت و مقاومت ولت متر برابر است با:

این فرمول ها هنگام اندازه گیری توان و انرژی جریان الکتریکی نیز قابل اجرا هستند.

خطای ابزار به کلاس دقت بستگی دارد. اگر کلاس دقت یک دستگاه از طریق خطای کاهش یافته بیان شود، خطای نسبی قرائت دستگاه برای آمپرمتر برابر خواهد بود:

قرائت آمپرمتر کجاست و مقدار اسمی آن است.

به همین ترتیب برای ولت متر:

اگر کلاس دقت بر حسب خطای نسبی بیان شود، خطای نشانگر برابر با کلاس دقت دستگاه است.

خطاهای اضافی، همچنین مربوط به خطاهای ابزاری سیستماتیک، ناشی از انحراف شرایط اندازه گیری از شرایط عادی است.

بنابراین، برای مثال، در مدارهای آمپرمتر با شنت، از آنجایی که شنت ها از منگنین ساخته شده اند (مقاومت منگنین عملاً مستقل از دما است)، لازم است از مدارهای جبران دما استفاده شود. در ساده ترین حالت، یک مقاومت به صورت سری به قاب متصل می شود r 1از منگانین، برنج. 1.

سپس ضریب دمایی مقاومت مدار قاب کاهش می یابد و خطای دما با فرمول تعیین می شود:

جایی که β 0 - ضریب دمایی مقاومت مدار قاب؛

r 0- مقاومت قاب، فنرها و سیم های اتصال؛

r w- مقاومت شانت؛

r 1- مقاومت اضافی از منگنین؛

; - دما در حین اندازه گیری

در دستگاه های با دقت بالا از مدار جبران دما سری موازی استفاده می شود.

اگر جبران دما وجود نداشته باشد:

خطای دمایی ولت مترهای مغناطیسی با فرمول تعیین می شود:

مقاومت اضافی منگنین کجاست.

از فرمول مشخص است که خطای دمایی ولت متر را می توان با افزایش مقاومت اضافی از منگنین کاهش داد.

برای ولت مترهای الکترومغناطیسی و الکترودینامیکی، خطای دما به ضریب دمایی گشتاور فنر و ضریب دمایی مقاومت سیم پیچ بستگی دارد و با فرمول تعیین می شود:

ضریب دمای ممان چشمه ها کجاست (منفی است و به ازای هر 10 درجه سانتیگراد 0.2¸0.3 درصد است).

عبارت دوم این عبارت به حد اندازه گیری دستگاه بستگی دارد. ولت متر بیشترین خطا را در کمترین حد اندازه گیری دارد، زیرا در این مورد حداقل است.

در آمپرمترهای الکترودینامیکی با اتصال سری سیم پیچ و در آمپرمترهای الکترومغناطیسی، دما فقط بر خواص کشسانی فنرها تأثیر می گذارد. بنابراین خطای دمایی آنها از 0.2 ± درصد در 10 درجه سانتی گراد بیشتر نمی شود و نیازی به روش های جبران خاصی ندارد.

ولت مترهای الکترودینامیکی و الکترومغناطیسی به طور قابل توجهی تحت تأثیر فرکانس هستند. دلیل اصلی عدم تطابق بین قرائت آنها در جریان مستقیم و متناوب وجود راکتانس القایی است.

خطای فرکانس هنگام حرکت از جریان مستقیم به جریان متناوب به صورت زیر محاسبه می شود:

جایی که r- مقاومت ولت متر DC؛

r a- مقاومت فعال مدار ولت متر در جریان متناوب.

در فرکانس‌های تا 2000 هرتز که این دستگاه‌ها در آن کار می‌کنند، تفاوت و ناشی از جریان گردابی در ضخامت سیم‌پیچ مسی و قطعات فلزی اطراف آن را می‌توان ناچیز دانست. سپس، گرفتن r a r، ما گرفتیم:

انحراف قسمت متحرک دستگاه یکسو کننده متناسب با میانگین مقدار اصلاح شده جریان عبوری از آن است. بنابراین اندازه گیری مقدار موثر جریان متناوب تنها در صورتی امکان پذیر است که ضریب شکل منحنی جریان متناوب مشخص باشد. به طور معمول، مقیاس های دستگاه های یکسو کننده در مقادیر مؤثر با شکل سینوسی منحنی کالیبره می شوند، و خوانش دستگاه برای این کار در ضریب شکل = 1.11 (مانند یک سینوسی) ضرب می شود.

اگر شکل موج با سینوسی متفاوت باشد، قرائت ها دارای خطای ذاتی در روش اندازه گیری خواهند بود:

خطاهای روش شناختی ناشی از ناقص بودن روش اندازه گیری و به ویژه ناقص بودن طرح اندازه گیری است. بنابراین هنگام اندازه گیری غیرمستقیم مقاومت و توان مصرفی بار به روش آمپرمتر و ولت متر معمولاً از دو مدار استفاده می شود. 2.

خطاهای اندازه گیری مقاومت Δ و خود طبق طرح الف) برابر است با:

قرائت ابزار کجاست

خطاهای اندازه گیری طبق طرح ب):

خطاهای ذهنی یا شخصی در بین آزمایشگران با تجربه معمولاً کوچک هستند و در مقایسه با سایر اجزای کل خطای سیستماتیک نادیده گرفته می شوند. به طور کلی پذیرفته شده است که این خطا Δ ots,p (خطای خواندن) از 20٪ ثابت دستگاه تجاوز نمی کند.

از آنجایی که خطای اندازه گیری – اندازه جمع،سپس هنگامی که مستقیم اندازه گیری ها:

الف) برای احتمال آر= 1 مقادیر حدی خطای اندازه گیری Δ p را با جمع حسابی مقادیر حدی اجزای Δ i, p پیدا کنید:

اجزاء ممکن است:

– خطای اصلی Δ o, p;

- خطاهای اضافی Δ d, p.

– خطای شمارش Δ ots,p;

- خطای تعامل Δ در، ص.

با این روش جمع، خطا بسیار بیش از حد برآورد می شود، زیرا بعید است که همه اجزا در محدوده خود باشند و علامت یکسانی داشته باشند (معلوم یا منفی). اما این روش تضمین کامل می دهد.

ب) برای احتمال آر< 1 находят граничные значения погрешности измерения Δ гр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δ i ,п:

Δ gr = ± K.

معنی بهبه قوانین توزیع متغیرهای تصادفی Δ i و مقدار احتمال مشخص شده بستگی دارد آر. اگر قوانین توزیع ناشناخته هستند، توصیه می شود فرض کنیم که برای همه اجزا این قانون چگالی یکنواخت است. علاوه بر این، از نظریه احتمال چنین بر می آید که مقادیر بهدر مقادیر مختلف آرمطابق با موارد ارائه شده در جدول:

آر	0,9	0,95	0,99
به	0,95	1,1	1,4

کل خطا در غیر مستقیم اندازه گیری ها با استفاده از فرمول های مشابه یافت می شوند.

در این مورد، وابستگی عملکردی نتیجه اندازه گیری غیر مستقیم مشخص است Yاز استدلال ها X 1; X 2 ;…X n:

(مثال :R=اینجا Y = R; X 1 = U; X 2 = I).

برای یافتن خطای Δ لازم است Y، ناشی از خطاهای Δ X 1; Δ X 2;… Δ Xn.

اجازه دهید: Δ Y = Δ; Δ X 1= Δ 1 ; Δ X 2= Δ 2 ؛… Δ Xn= Δ n، سپس با توجه به فرمول دیفرانسیل کل:

مقادیر حدی کل خطای مطلق:

در آر< 1 применяют статистическое суммирование:

جایی که بهبستگی به مقدار احتمال مشخص شده دارد آرمانند اندازه گیری های مستقیم (جدول را ببینید).

بنابراین، هنگام تنظیم دقیق آزمایش، خطاهای اندازه گیری سیستماتیک را می توان در نظر گرفت و حتی حذف کرد.

خطاها و خطاهای تصادفی را نمی توان کنترل کرد، زیرا آنها در نتیجه عملکرد همزمان علل مختلف ظاهر می شوند. این خطاها از قوانین اعداد بزرگ تبعیت می کنند، بنابراین فقط حسابداری آماری در اینجا ممکن است، مشروط به تئوری احتمال.

خطاها و اشتباهات تصادفی در طول اندازه گیری های مکرر یک مقدار معین در شرایط یکسان شناسایی می شوند.

بیایید بگوییم که ما یک سری از nاندازه گیری های همان کمیت ایکس. به دلیل خطاهای تصادفی، مقادیر فردی ایکس 1 ,ایکس 2 ,ایکس 3, ایکس n یکسان نیستند و میانگین حسابی به عنوان بهترین مقدار مقدار مورد نظر، برابر با مجموع حسابی همه مقادیر اندازه گیری شده تقسیم بر تعداد اندازه گیری ها انتخاب می شود:

جایی که å علامت جمع است، من- شماره اندازه گیری n- تعداد اندازه گیری ها

بنابراین، - نزدیکترین مقدار به واقعی است. هیچ کس معنی واقعی را نمی داند. شما فقط می توانید بازه D را محاسبه کنید ایکسنزدیک، که در آن مقدار واقعی را می توان با درجاتی از احتمال قرار داد آر. این فاصله نامیده می شود فاصله اطمینان. احتمالی که مقدار واقعی در آن قرار می گیرد نامیده می شود احتمال اطمینان یا ضریب اطمینان(از آنجایی که آگاهی از احتمال اطمینان به فرد اجازه می دهد تا میزان قابلیت اطمینان نتیجه به دست آمده را ارزیابی کند). هنگام محاسبه فاصله اطمینان، میزان اطمینان مورد نیاز از قبل مشخص شده است. با نیازهای عملی تعیین می شود (به عنوان مثال، الزامات سخت گیرانه تری بر روی قطعات موتور هواپیما نسبت به موتور قایق اعمال می شود). بدیهی است که برای به دست آوردن قابلیت اطمینان بیشتر، افزایش تعداد اندازه گیری ها و دقت آنها مورد نیاز است.

با توجه به این واقعیت که خطاهای تصادفی اندازه گیری های فردی تابع قوانین احتمالاتی است، روش های آمار ریاضی و نظریه احتمال امکان محاسبه ریشه میانگین مربعات خطای مقدار میانگین حسابی را فراهم می کند. Dx sl. بیایید فرمول محاسبه بدون اثبات را بنویسیم Dx cl برای تعداد کمی اندازه گیری ( n < 30).

فرمول فرمول دانشجو نامیده می شود:

جایی که تی n، p - ضریب دانش آموز، بسته به تعداد اندازه گیری ها nو احتمال اطمینان آر.

ضریب دانشجو از جدول زیر بدست می آید که قبلاً بر اساس نیازهای عملی (همانطور که در بالا ذکر شد) مقادیر تعیین شده است. nو آر.

هنگام پردازش نتایج کار آزمایشگاهی، کافی است 3-5 اندازه گیری انجام شود و احتمال اطمینان برابر با 0.68 باشد.

اما اتفاق می افتد که با اندازه گیری های متعدد همان مقادیر به دست می آید ایکس. مثلا قطر سیم را 5 بار اندازه گرفتیم و 5 بار همان مقدار را گرفتیم. بنابراین، این به هیچ وجه به این معنی نیست که هیچ خطایی وجود ندارد. این فقط به این معنی است که خطای تصادفی هر اندازه گیری کوچکتر است دقتدستگاه d که به آن نیز گفته می شود اتاق ساز،یا وسیله، خطا خطای ابزاری دستگاه d با کلاس دقت دستگاه مشخص شده در پاسپورت آن یا درج شده در خود دستگاه تعیین می شود. و گاهی برابر با قیمت تقسیم دستگاه (قیمت تقسیمی دستگاه مقدار کوچکترین تقسیم آن است) یا نصف قیمت تقسیم (اگر بتوان نصف قیمت تقسیم دستگاه را تقریباً با چشم).

از آنجایی که هر یک از مقادیر ایکس i با خطای d و سپس فاصله اطمینان کامل به دست آمد Dx، یا خطای مطلق اندازه گیری، با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

توجه داشته باشید که اگر در فرمول (A.3) یکی از کمیت ها حداقل 3 برابر بزرگتر از دیگری باشد، از مقدار کوچکتر صرف نظر می شود.

خطای مطلق به خودی خود کیفیت اندازه گیری های انجام شده را منعکس نمی کند. به عنوان مثال، تنها بر اساس اطلاعاتی که خطای مطلق 0.002 متر مربع است، نمی توان قضاوت کرد که این اندازه گیری چقدر خوب انجام شده است. ایده ای از کیفیت اندازه گیری های انجام شده توسط خطای مربوطه e، برابر با نسبت خطای مطلق به مقدار متوسط مقدار اندازه گیری شده است. خطای نسبی نشان می دهد که نسبت خطای مطلق مقدار اندازه گیری شده چقدر است. به عنوان یک قاعده، خطای نسبی به صورت درصد بیان می شود:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. اجازه دهید قطر توپ با استفاده از یک میکرومتر اندازه گیری شود که خطای ابزار آن d = 0.01 میلی متر است. در نتیجه سه اندازه گیری، مقادیر قطر زیر به دست آمد:

د 1 = 2.42 میلی متر، د 2 = 2.44 میلی متر، د 3 = 2.48 میلی متر.

با استفاده از فرمول (A.1)، مقدار میانگین حسابی قطر توپ تعیین می شود

سپس با استفاده از جدول ضرایب Student دریافتند که برای سطح اطمینان 0.68 با سه اندازه گیری تی n، p = 1.3. سپس با استفاده از فرمول (A.2) خطای اندازه گیری تصادفی محاسبه می شود DD sl

از آنجایی که خطای تصادفی حاصل تنها دو برابر خطای ابزاری است، پس هنگام یافتن خطای اندازه گیری مطلق DDبا توجه به (الف.3)، هم خطای تصادفی و هم خطای ابزار باید در نظر گرفته شود، یعنی.

میلی متر » ± 0.03 میلی متر.

خطا به صدم میلی متر گرد شد، زیرا دقت نتیجه نمی تواند از دقت دستگاه اندازه گیری تجاوز کند که در این مورد 0.01 میلی متر است.

بنابراین قطر سیم است

این ورودی نشان می دهد که مقدار واقعی قطر توپ با احتمال 68٪ در فاصله (2.42 ¸ 2.48) میلی متر قرار دارد.

خطای نسبی e مقدار بدست آمده مطابق (A.4) است