الوذمة عند الأطفال

الدوال المثلثية للزاوية. الدوال المثلثية للحجة العددية والزاوية. درس وعرض حول موضوع: "الدالة المثلثية للدالة الزاوية وقياس الزاوية والراديان"

يوفر درس الفيديو "الوظائف المثلثية للحجة الزاوية" مادة مرئية لإجراء درس رياضيات حول الموضوع ذي الصلة. تم تصميم الفيديو بحيث يتم عرض المادة التي تتم دراستها بشكل ملائم قدر الإمكان ليتمكن الطلاب من فهمها، ويسهل تذكرها، ويكشف بشكل جيد عن العلاقة بين المعلومات المتاحة حول الدوال المثلثية من القسم الخاص بدراسة المثلثات وتعريفها باستخدام الوحدة دائرة. يمكن أن يصبح جزءًا مستقلاً من الدرس، لأنه يغطي هذا الموضوع بالكامل، مع استكماله بالتعليقات المهمة أثناء النطق.

لتوضيح العلاقة بين التعريفات المختلفة للدوال المثلثية، يتم استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة. إن إبراز النص بخط ملون وتركيبات واضحة ومفهومة وإضافة التعليقات يساعدك على إتقان المادة وتذكرها بسرعة وتحقيق أهداف الدرس بسرعة. يتم توضيح الروابط بين تعريفات الدوال المثلثية بوضوح من خلال تأثيرات الرسوم المتحركة وتسليط الضوء على الألوان، وتعزيز فهم المواد والاحتفاظ بها. ويهدف الدليل إلى زيادة فعالية التدريب.

يبدأ الدرس بمقدمة الموضوع. ثم يتم تذكر تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية. يذكرنا التعريف الموضح في الإطار بأن الجيب وجيب التمام يتشكلان كنسبة الساق إلى الوتر، ويتشكل الظل وظل التمام من نسبة الأرجل. يتم تذكير الطلاب أيضًا بالمواد التي تم تعلمها مؤخرًا والتي تفيد بأنه عند النظر إلى نقطة على دائرة الوحدة، فإن حدود النقطة هي جيب التمام، والإحداثي هو جيب الرقم المقابل لتلك النقطة. يتم توضيح العلاقة بين هذه المفاهيم باستخدام البناء. تعرض الشاشة دائرة وحدة موضوعة بحيث يتطابق مركزها مع نقطة الأصل. من أصل الإحداثيات، يتم إنشاء شعاع يشكل زاوية α مع نصف محور الإحداثيات الموجب. يتقاطع هذا الشعاع مع دائرة الوحدة عند النقطة O. ومن هذه النقطة، تنحدر الخطوط المتعامدة إلى الإحداثي الإحداثي والمحور الإحداثي، مما يدل على أن إحداثيات هذه النقطة تحدد جيب التمام وجيب الزاوية α. ويلاحظ أن طول القوس AO من نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثي السيني إلى النقطة O هو نفس الجزء من القوس بأكمله مثل الزاوية α من 360 درجة. يتيح لك هذا إنشاء النسبة α/360=t/2π، والتي يتم عرضها على الفور ويتم تمييزها باللون الأحمر للحفظ. ومن هذه النسبة يتم اشتقاق القيمة t=πα/180°. مع أخذ ذلك في الاعتبار، يتم تحديد العلاقة بين تعريفات الجيب وجيب التمام: sinα°= sinπα/180، cosα°=cost=cosπα/180. على سبيل المثال، تم إعطاء إيجاد sin60°. بتعويض قياس درجة الزاوية في الصيغة، نحصل على sin π·60°/180°. بتبسيط الكسر بمقدار 60، نحصل على sin π/3، وهو ما يساوي √3/2. من الملاحظ أنه إذا كانت 60 درجة هي قياس درجة الزاوية، فإن π/3 يسمى قياس راديان للزاوية. هناك ترميزان محتملان لنسبة قياس درجة الزاوية إلى قياس الراديان: 60°=π/3 و60°=π/3 راد.

يتم تعريف مفهوم الزاوية ذات الدرجة الواحدة على أنها الزاوية المركزية التي يقابلها قوس طوله 1/360 يمثل جزءًا من المحيط. يكشف التعريف التالي عن مفهوم زاوية راديان واحدة - الزاوية المركزية المبنية على قوس طوله واحد، أو يساوي نصف قطر الدائرة. تم وضع علامة على التعريفات على أنها مهمة وتم إبرازها للتذكر.

لتحويل قياس درجة واحدة لزاوية إلى قياس راديان والعكس، استخدم الصيغة α°=πα/180 rad. يتم تمييز هذه الصيغة في إطار على الشاشة. ويترتب على هذه الصيغة أن 1° = π/180 راد. في هذه الحالة، الراديان الواحد يتوافق مع زاوية 180°/π≈57.3°. تجدر الإشارة إلى أنه عند العثور على قيم الدوال المثلثية للمتغير المستقل t، يمكن اعتبارها وسيطة عددية وزاوية.

فيما يلي أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في حل المشكلات الرياضية. في المثال 1، تحتاج إلى تحويل القيم من الدرجات إلى الراديان 135° و905°. توجد على الجانب الأيمن من الشاشة صيغة توضح العلاقة بين الدرجات والراديان. وبعد التعويض بالقيمة في الصيغة، نحصل على (ط/180)·135. وبعد تقليل هذا الكسر بمقدار 45، نحصل على القيمة 135° = 3π/4. لتحويل زاوية 905 درجة إلى قياس راديان، يتم استخدام نفس الصيغة. بعد استبدال القيمة فيها، اتضح (π/180)·905=181π/36 راد.

في المثال الثاني، تم حل المشكلة العكسية - تم العثور على قياس درجة الزوايا المعبر عنها بالراديان π/12، -21π/20، 2.4π. على الجانب الأيمن من الشاشة، نتذكر الصيغة المدروسة للربط بين قياس الدرجة والراديان للزاوية 1 rad = 180°/π. يتم حل كل مثال عن طريق استبدال مقياس الراديان في الصيغة. بالتعويض π/12، نحصل على (180°/π)·(π/12)=15°. تم العثور على قيم الزوايا المتبقية بالمثل -21π/20=-189° و2.4π=432°.

يوصى باستخدام درس الفيديو "الدوال المثلثية للحجة الزاوية" في دروس الرياضيات التقليدية لزيادة كفاءة التعلم. ستساعد المادة في ضمان وضوح التعلم أثناء التعلم عن بعد حول هذا الموضوع. يمكن للشرح التفصيلي والمفهوم للموضوع وحلول المشكلات المتعلقة به أن يساعد الطالب على إتقان المادة بشكل مستقل.

فك تشفير النص:

"الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية."

نحن نعلم بالفعل من الهندسة أن جيب التمام (جيب التمام) للزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الساق إلى الوتر، والظل (ظل التمام) هو نسبة الساقين. وفي الجبر نسمي حدود نقطة على دائرة الوحدة جيب التمام، وإحداثي هذه النقطة جيب التمام. دعونا نتأكد من أن كل هذا مترابط بشكل وثيق.

لنضع زاوية قياسها درجة α° (درجات ألفا)، كما هو موضح في الشكل 1: رأس الزاوية متوافق مع مركز دائرة الوحدة (مع أصل نظام الإحداثيات)، وجانب واحد من الزاوية متوافق مع الشعاع الموجب لمحور الإحداثي السيني. يتقاطع الجانب الثاني من الزاوية مع الدائرة عند النقطة O. وإحداثي النقطة O هو جيب الزاوية ألفا، وإحداثي هذه النقطة هو جيب تمام ألفا.

لاحظ أن القوس AO هو نفس الجزء من طول دائرة الوحدة حيث أن الزاوية ألفا تكون من الزاوية ثلاثمائة وستين درجة. دعونا نشير إلى طول القوس AO بـ t(te)، ثم نشكل النسبة =

(ألفا تثق بالستين كما te إلى اثنين pi) ومن هنا نجد te: t = = (te تساوي pi alpha مقسومة على مائة وثمانين).

وبالتالي، للعثور على جيب أو جيب تمام الزاوية بدرجات ألفا، يمكنك استخدام الصيغة:

الخطيئة α° = الخطيئة = الخطيئة (جيب درجات ألفا يساوي جيب تي ويساوي جيب باي ألفا الجزئي إلى مائة وثمانين)،

cosα° = cost = cos (جيب تمام درجات ألفا يساوي جيب تمام te ويساوي جيب تمام pi alpha الجزئي إلى مائة وثمانين).

على سبيل المثال، sin 60° = sin = sin = (جيب ستين درجة يساوي جيب pi على ثلاثة، وفقًا لجدول القيم الأساسية للجيب، فهو يساوي جذر ثلاثة على اثنين) .

يُعتقد أن 60 درجة هي قياس درجة الزاوية، و(باي على ثلاثة) هو قياس راديان للزاوية نفسها، أي 60 درجة = مسرور(ستون درجة تساوي باي ضرب ثلاثة راديان). للإيجاز، اتفقنا على التسمية مسرورحذفت، أي أن الإدخال التالي مقبول: 60°= (إظهار الاختصارات قياس راديان = راد.)

الزاوية التي مقدارها درجة واحدة هي زاوية مركزية تقابل قوساً يشكل (واحداً وثلاثمائة وستين) جزءاً من القوس. الزاوية التي قياسها راديان واحد هي الزاوية المركزية التي تقع على قوس طوله واحد، أي على قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة (نعتبر الزوايا المركزية لدائرة الوحدة لإظهار زاوية في بي راديان على دائرة).

دعونا نتذكر الصيغة المهمة لتحويل الدرجات إلى راديان:

α° = مسرور. (ألفا تساوي باي ألفا مقسومة على مائة وثمانين، راديان) على وجه التحديد، 1° = مسرور(الدرجة الواحدة تساوي باي مقسومة على مائة وثمانين راديان).

ومن هذا يمكننا أن نجد أن الراديان الواحد يساوي نسبة مائة وثمانين درجة إلى باي ويساوي تقريبًا سبعة وخمسين فاصل ثلاثة درجات: 1 مسرور= ≈ 57.3°.

مما سبق: عندما نتحدث عن أي دالة مثلثية، على سبيل المثال عن الدالة s = sint (es تساوي sin te)، فإن المتغير المستقل t(te) يمكن اعتباره وسيطة عددية ووسيطة زاوية.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1. التحويل من الدرجات إلى الراديان: أ) 135°؛ ب) 905 درجة.

حل. دعنا نستخدم صيغة تحويل الدرجات إلى راديان:

أ) 135° = 1° ∙ 135 = مسرور ∙ 135 = مسرور

(مائة وخمسة وثلاثون درجة تساوي باي في مائة وثمانين راديان مضروبًا في مائة وخمسة وثلاثين، وبعد التخفيض يساوي ثلاثة باي في أربعة راديان)

ب) وبالمثل، باستخدام صيغة تحويل قياس الدرجة إلى قياس راديان، نحصل على ذلك

905 درجة = مسرور ∙ 905 = مسرور.

(تسعمائة وخمسة درجات تساوي مائة وواحد وثمانون بي × ستة وثلاثين راديان).

مثال 2. التعبير بالدرجات: أ) ; ب) - ؛ ج) 2.4π

(باي على اثني عشر؛ ناقص واحد وعشرين باي على عشرين؛ اثنان فاصلة أربعة باي).

حل. أ) لنعبر عن pi بمقدار اثني عشر بالدرجات، استخدم صيغة تحويل قياس الراديان لزاوية إلى درجة في 1 مسرور=، نحصل على

مسرور = 1 مسرور∙ = ∙ = 15° (باي في اثني عشر راديان يساوي حاصل ضرب راديان واحد وباي في اثني عشر. بالتعويض عن مائة وثمانين لـ باي بدلاً من راديان واحد والتقليل، نحصل على خمس عشرة درجة)

مشابه ل ب) - = 1 مسرور∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (ناقص واحد وعشرين باي في عشرين يساوي سالب مائة وتسعة وثمانين درجة)،

ج) 2.4π = 1 مسرور∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432° (اثنتين فاصلة أربعة باي تساوي أربعمائة واثنان وثلاثون درجة).

الدوال المثلثية للوسيطة الرقميةلقد قمنا بتسوية الأمر. أخذنا النقطة A على الدائرة وبحثنا عن جيب وجيب التمام للزاوية الناتجة β.

لقد حددنا النقطة بـ A، ولكن في الجبر غالبًا ما يتم تحديدها بـ t ويتم إعطاء جميع الصيغ/الوظائف معها. كما أننا لن نحيد عن الشرائع. أولئك. t - سيكون هذا رقمًا معينًا وظيفة رقمية(على سبيل المثال سينت)

من المنطقي أنه بما أن لدينا دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا

الدوال المثلثية لحجة الزاويةلقد قمنا أيضًا بتحليلها بنجاح - وفقًا للشرائع، سنكتب لمثل هذه الوظائف: sin α°، أي بـ α° أي زاوية بعدد الدرجات التي نحتاجها.

سيعطينا شعاع هذه الزاوية النقطة الثانية على الدائرة (OA - النقطة A) والنقطتين المقابلتين C و B للدالة العددية، إذا كنا في حاجة إليها: الخطيئة ر = الخطيئة α°

خطوط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

لا تنسى ذلك أبدا المحور Y هو خط الجيب, المحور X هو خط جيب التمام! النقاط التي تم الحصول عليها من الدائرة محددة على هذه المحاور.

أ خطوط الظل وظل التمام تكون موازية لها وتمر بالنقطتين (1؛ 0) و (0؛ 1)على التوالى.

مهما كان العدد الحقيقي t المأخوذ، فإنه يمكن ربطه برقم محدد بشكل فريد sin t. صحيح أن قاعدة المطابقة معقدة للغاية، وكما رأينا أعلاه فهي على النحو التالي.

للعثور على قيمة sin t باستخدام الرقم t، تحتاج إلى:

1) ضع دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي بحيث يتزامن مركز الدائرة مع أصل الإحداثيات، وتقع نقطة البداية A للدائرة عند النقطة (1؛ 0)؛

2) ابحث عن نقطة على الدائرة المقابلة للرقم t؛

3) العثور على إحداثيات هذه النقطة.

هذا الإحداثي هو خطيئة ر.

في الواقع، نحن نتحدث عن الدالة u = sin t، حيث t هو أي عدد حقيقي.

يتم استدعاء كل هذه الوظائف الدوال المثلثية للوسيطة العددية ر.

هناك عدد من العلاقات التي تربط بين قيم الدوال المثلثية المختلفة، وقد حصلنا بالفعل على بعض هذه العلاقات:

جا 2 ر + جتا 2 ر = 1

من السهل الحصول على علاقة تربط بين الصيغتين الأخيرتين tg t وctg t:

تُستخدم كل هذه الصيغ في الحالات التي يكون فيها معرفة قيمة الدالة المثلثية ضروريًا لحساب قيم الدوال المثلثية الأخرى.

كانت المصطلحات "جيب الجيب" و"جيب التمام" و"الظل" و"ظل التمام" مألوفة بالفعل، ومع ذلك، فإنها لا تزال تستخدم في تفسير مختلف قليلاً: في الهندسة والفيزياء اعتبروا الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في المقدمة(لكن لا

الأرقام كما في الفقرات السابقة).

من المعروف من الهندسة أن جيب التمام (جيب التمام) للزاوية الحادة هو نسبة أرجل المثلث الأيمن إلى الوتر، وظل الزاوية (ظل التمام) للزاوية هو نسبة أرجل المثلث الأيمن. تم تطوير نهج مختلف لمفاهيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الفقرات السابقة. في الواقع، هذه الأساليب مترابطة.

لنأخذ زاوية قياسها درجة b o ونضعها في نموذج "الدائرة الرقمية في نظام إحداثيات مستطيل" كما هو موضح في الشكل. 14

قمة الزاوية متوافقة مع المركز

الدوائر (مع أصل نظام الإحداثيات)،

وجانب واحد من الزاوية متوافق مع

الشعاع الموجب للمحور x . نقطة

تقاطع الضلع الثاني من الزاوية مع

نشير بالدائرة بالحرف M. Ordina-

الشكل 14 ب o، وإحداثي هذه النقطة هو جيب تمام الزاوية ب o.

للعثور على جيب أو جيب تمام الزاوية ب ليس من الضروري على الإطلاق القيام بهذه الإنشاءات المعقدة للغاية في كل مرة.

ويكفي أن نلاحظ أن القوس AM يشكل نفس الجزء من طول دائرة الأعداد الذي تشكله الزاوية b o من الزاوية 360°. إذا تم الإشارة إلى طول القوس AM بالحرف t، نحصل على:

هكذا،

على سبيل المثال،

يُعتقد أن 30 درجة هي قياس درجة الزاوية، وقياس راديان لنفس الزاوية: 30 درجة = راد. على الاطلاق:

على وجه الخصوص، أنا سعيد من أين نحصل عليه بدوره.

إذن ما هو 1 راديان؟ هناك مقاييس مختلفة لطول المقاطع: السنتيمترات، الأمتار، الياردات، إلخ. هناك أيضًا مقاييس مختلفة للإشارة إلى حجم الزوايا. نحن نعتبر الزوايا المركزية لدائرة الوحدة. الزاوية 1° هي الزاوية المركزية التي يقابلها قوس يشكل جزءاً من الدائرة. زاوية 1 راديان هي الزاوية المركزية التي يقابلها قوس طوله 1، أي. على قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة. ومن الصيغة نجد أن 1 راد = 57.3°.

عند النظر في الدالة u = sin t (أو أي دالة مثلثية أخرى)، يمكننا اعتبار المتغير المستقل t وسيطة عددية، كما كان الحال في الفقرات السابقة، ولكن يمكننا أيضًا اعتبار هذا المتغير مقياسًا لـ الزاوية، أي حجة الزاوية. لذلك، عند الحديث عن دالة مثلثية، فلا فرق إلى حد ما في اعتبارها دالة لحجة عددية أو زاوية.

درس وعرض حول موضوع: "الدالة المثلثية للدالة الزاوية وقياس الزاوية والراديان"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية
نحن نحل المشاكل في الهندسة. المهام التفاعلية للبناء في الفضاء

ما سوف ندرسه :
1. دعونا نتذكر الهندسة.
2. تعريف الحجة الزاوية.
3. قياس درجة الزاوية.
4. راديان قياس الزاوية.
5. ما هو الراديان؟
6. أمثلة ومهام للحل المستقل.

تكرار الهندسة

يا شباب، في وظائفنا:

ص = الخطيئة (ر)، ص = كوس (ر)، ص = تيراغرام (ر)، ص = ctg (ر)

لا يمكن للمتغير t أن يأخذ قيمًا رقمية فقط، أي أن يكون وسيطة رقمية، ولكن يمكن أيضًا اعتباره مقياسًا للزاوية - وسيطة زاوية.

دعونا نتذكر الهندسة!
كيف قمنا بتعريف الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام هناك؟

جيب الزاوية - نسبة الضلع المقابل إلى الوتر

جيب تمام الزاوية - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر

ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

ظل تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.

تعريف الدالة المثلثية لحجة الزاوية

دعونا نحدد الدوال المثلثية كدوال للوسيطة الزاوية على دائرة الأعداد:
باستخدام دائرة الأعداد ونظام الإحداثيات، يمكننا دائمًا العثور بسهولة على جيب الزاوية وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية:

دعونا نضع رأس الزاوية α في مركز الدائرة، أي. إلى مركز محور الإحداثيات، ووضع أحد الجانبين بحيث يتزامن مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثي الفائق (OA)
ثم يتقاطع الضلع الثاني مع دائرة الأعداد عند النقطة M.

تنسيقالنقطة M: جيب الزاوية α
الإحداثي السينيالنقطة M: جيب تمام الزاوية α

لاحظ أن طول القوس AM هو نفس الجزء من دائرة الوحدة مثل الزاوية α من 360 درجة: حيث t هو طول القوس AM .

قياس درجة الزاوية

1) يا شباب، حصلنا على صيغة لتحديد قياس درجة الزاوية من خلال طول قوس دائرة الأعداد، دعونا نلقي نظرة فاحصة عليها:

ثم نكتب الدوال المثلثية بالصيغة:

على سبيل المثال:

راديان قياس الزوايا

عند حساب قياس الدرجة أو الراديان للزاوية، تذكر! :
على سبيل المثال:

بالمناسبة! تعيين راد. يمكنك خفضه!

ما هو الراديان؟

أصدقائي الأعزاء، نحن أمام مفهوم جديد - راديان. إذا ما هو؟

وهناك مقاييس مختلفة للطول والوقت والوزن، على سبيل المثال: المتر والكيلومتر والثانية والساعة والجرام والكيلوغرام وغيرها. إذن الراديان هو أحد مقاييس الزاوية. يجدر النظر في الزوايا المركزية، أي تلك الموجودة في وسط دائرة الأعداد.
الزاوية التي مقدارها درجة واحدة هي الزاوية المركزية التي يقابلها قوس يساوي 1/360 من المحيط.

زاوية 1 راديان هي الزاوية المركزية التي يقابلها قوس يساوي 1 في دائرة الوحدة، وفي دائرة عشوائية بقوس يساوي نصف قطر الدائرة.

أمثلة: