指数関数的にkuとは何ですか。 等比数列。 例を含む包括的なガイド（2019）

いくつかのシリーズを考えてみましょう。

7 28 112 448 1792...

その要素のいずれかの値が前の要素のちょうど4倍であることは完全に明らかです。 これは、このシリーズが進歩であることを意味します。

数の無限のシーケンスは、等比数列と呼ばれます。 主な特徴つまり、次の数は、前の数から特定の数を掛けることによって得られます。 これは次の式で表されます。

a z +1 = a z q、ここでzは選択された要素の番号です。

したがって、z∈Nです。

学校で等比数列を研究する期間は9年生です。 例は、概念を理解するのに役立ちます。

0.25 0.125 0.0625...

この式に基づいて、進行の分母は次のように見つけることができます。

qもbzもゼロにすることはできません。 また、進行の各要素はゼロであってはなりません。

したがって、シリーズの次の数を見つけるには、最後の数にqを掛ける必要があります。

この進行を設定するには、最初の要素と分母を指定する必要があります。 その後、後続のメンバーとその合計を見つけることができます。

品種

qとa1に応じて、この進行はいくつかのタイプに分けられます。

• 1とqの両方が1より大きい場合、そのようなシーケンスは、次の要素ごとに増加する等比数列です。 その一例を以下に示します。

例：a 1 = 3、q = 2-両方のパラメーターが1より大きい。

次に、数値シーケンスは次のように記述できます。

3 6 12 24 48 ...

• 場合| q | 1未満、つまり、それによる乗算は除算と同等であり、同様の条件での進行は、等比数列の減少です。 その一例を以下に示します。

例：a 1 = 6、q = 1 / 3-a 1は複数、qは小さい。

次に、数値シーケンスは次のように記述できます。

6 2 2/3 ...-どの要素もそれに続く要素の3倍の大きさです。

• 交代符号。 qの場合<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

例：a 1 = -3、q = -2-両方のパラメーターがゼロ未満です。

次に、数値シーケンスは次のように記述できます。

3, 6, -12, 24,...

数式

等比数列を便利に使用するための多くの公式があります。

• z番目のメンバーの式。 以前の数値を計算せずに、特定の数値でアイテムを計算できます。

例：NS = 3, NS 1 = 4。進行の4番目の要素を計算する必要があります。

解決：NS 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• 数がである最初の要素の合計 z..。 までのシーケンスのすべての要素の合計を計算しますa z包括的。

（1-NS）が分母にある場合、（1-q）≠0であるため、qは1に等しくありません。

注：q = 1の場合、進行は一連の無限に繰り返される数になります。

等比数列の合計、例：NS 1 = 2, NS= -2。 S5を計算します。

解決：NS 5 = 22-式による計算。

• 次の場合の金額|NS| < 1 и если z стремится к бесконечности.

例：NS 1 = 2 , NS= 0.5。 金額を見つけます。

解決：S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

いくつかのプロパティ：

• 特性。 次の条件の場合 のために実行されますz、その場合、与えられた数列は等比数列です。

a z 2 = a z -1 · NSz + 1

• また、等比数列の任意の数の二乗は、他の2つの数の二乗がこの要素から等距離にある場合、それらを特定の行に追加することによって検出されます。

a z 2 = a z - NS 2 + a z + NS 2 、 どこNS-これらの数値間の距離。

• 要素qが異なる一度。
• 進行の要素の対数も進行を形成しますが、すでに算術的です。つまり、それぞれが前の要素よりも特定の数だけ大きくなっています。

いくつかの古典的な問題の例

等比数列が何であるかをよりよく理解するには、グレード9のソリューションを使用した例が役立ちます。

• 条件：NS 1 = 3, NS 3 = 48。検索NS.

解決策：後続の各要素は、の前の要素よりも大きくなりますNS 一度。分母を使って他の要素を通していくつかの要素を表現する必要があります。

したがって、NS 3 = NS 2 · NS 1

代用する場合NS= 4

• 条件：NS 2 = 6, NS 3 = 12. S6を計算します。

解決：これを行うには、最初の要素であるqを見つけて、それを式に代入するだけで十分です。

NS 3 = NS· NS 2 したがって、NS= 2

a 2 = q A 1、したがって a 1 = 3

S 6 = 189

• · NS 1 = 10, NS= -2。 進行の4番目の要素を見つけます。

解決策：これには、最初の要素と分母を介して4番目の要素を表現するだけで十分です。

a 4 = q 3· a 1 = -80

応用例：

• 銀行の顧客は10,000ルーブルの預金を行いました。これによると、毎年、顧客は元本の6％を元本に追加します。 アカウントは4年間でいくらになりますか？

解決策：初期量は1万ルーブルです。 これは、投資の1年後、アカウントの金額が10,000 +10,000になることを意味します。 · 0.06 = 10000 1.06

したがって、あと1年間の口座の金額は、次のように表されます。

（10000 1.06）0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

つまり、毎年1.06倍になります。 これは、4年間の口座の資金額を見つけるには、進行の4番目の要素を見つけるだけで十分であることを意味します。これは、1万に等しい最初の要素と1.06に等しい分母によって与えられます。

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

合計を計算するためのタスクの例：

等比数列はさまざまな問題で使用されます。 合計を見つけるための例は次のように与えることができます：

NS 1 = 4, NS= 2、計算S 5.

解決策：計算に必要なすべてのデータがわかっているので、それらを数式に代入するだけです。

NS 5 = 124

• NS 2 = 6, NS 3 = 18。最初の6つの要素の合計を計算します。

解決：

geomで。 進行、次の各要素は前の要素のq倍です。つまり、合計を計算するには、要素を知る必要があります。NS 1 と分母NS.

NS 2 · NS = NS 3

NS = 3

同様に、あなたは見つける必要がありますNS 1 知っているNS 2 とNS.

NS 1 · NS = NS 2

a 1 =2

NS 6 = 728.

それでは、座っていくつかの数字を書き始めましょう。 例えば：

あなたはどんな数でも書くことができます、そしてあなたが好きなだけ多くすることができます（私たちの場合、それら）。 いくつ書いても、どちらが最初か、2番目か、というように最後まで言うことができます。つまり、番号を付けることができます。 これは数列の例です：

数列は番号のセットであり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。

たとえば、シーケンスの場合：

割り当てられた番号は、シーケンス内の1つの番号のみに固有です。 つまり、シーケンスに3秒の数字はありません。 2番目の数字（-番目の数字と同様）は常に1です。

番号の付いた番号は、シーケンスのth番目のメンバーと呼ばれます。

通常、シーケンス全体を何らかの文字（たとえば）と呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの数に等しいインデックスを持つ同じ文字です。

私たちの場合には：

最も一般的なタイプの進行は、算術および幾何学です。 このスレッドでは、2番目の種類について説明します- 等比数列.

なぜ等比数列とその起源の歴史が必要なのですか。

古代でも、イタリアの数学者ピサのレオナルド（フィボナッチとしてよく知られています）は、貿易の実際的なニーズの解決に従事していました。 僧侶は、商品の重さを量ることができる最小の重さの助けを借りて決定するという課題に直面しましたか？ 彼の著作の中で、フィボナッチはそのような重みのシステムが最適であることを証明しています。これは、人々が等比数列に直面しなければならなかった最初の状況の1つであり、おそらくすでに聞いており、少なくとも一般的な概念を持っています。 トピックを完全に理解したら、なぜそのようなシステムが最適であるかを考えてください。

現在、生活習慣では、銀行にお金を投資すると、前の期間の口座に蓄積された金額に利息の金額が請求されるときに、等比数列が現れます。 言い換えれば、貯蓄銀行の定期預金にお金を入れると、1年で預金は元の金額よりも増加します。 新しい金額は、デポジットにを掛けたものに等しくなります。 別の年には、この金額は次のように増加します。 その時に得られた量は、再び乗算されます。 同様の状況は、いわゆる計算の問題で説明されています 複利-パーセンテージは、以前の利息を考慮して、アカウントの金額から毎回取得されます。 これらのタスクについては、少し後で説明します。

等比数列が使用されるより多くの単純なケースがあります。 たとえば、インフルエンザの蔓延：ある人が人に感染し、次に別の人に感染したため、感染の第2波は人であり、次に別の人に感染しました...など。 。

ちなみに、同じMMMである金融ピラミッドは、等比数列の特性に基づいた単純で乾いた計算です。 面白い？ それを理解しましょう。

等比数列。

数値シーケンスがあるとしましょう：

あなたはすぐにそれが簡単であり、そのようなシーケンスの名前であると答えます-そのメンバーの違いがあります。 これはどう：

次の数値から前の数値を引くと、新しい差が得られるたびに（など）わかりますが、シーケンスは確実に存在し、簡単にわかります-次の各数値は前の数値の倍になります一！

この種の数列は呼ばれます 等比数列で示されます。

等比数列（）は数値シーケンスであり、その最初の項はゼロ以外であり、2番目から始まる各項は、前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。 この数は、等比数列の分母と呼ばれます。

最初の項（）が等しくなく、ランダムではないという制限。 それらが存在せず、最初の項がまだ等しく、qが等しいとしましょう、うーん..みましょう、そうすると、次のようになります。

これはもはや進行ではないことに同意します。

ご想像のとおり、ゼロ以外の数値でも同じ結果が得られます。 これらの場合、一連の数全体がすべてゼロまたは1つの数、および他のすべてのゼロになるため、単純に進行はありません。

それでは、等比数列の分母、つまり神父について詳しく話しましょう。

繰り返しましょう：は数字です、 後続の各用語は何回変更されますか等比数列。

あなたはそれが何であると思いますか？ 正しくは、正と負ですが、ゼロではありません（これについては少し高く話しました）。

ポジティブなものがあるとしましょう。 私たちの場合も同様です。 第二期とは何ですか？ あなたは簡単にそれに答えることができます：

すべてが正しいです。 したがって、の場合、進行の後続のすべてのメンバーが同じ符号を持ちます-それらは ポジティブ.

ネガティブな場合はどうなりますか？ たとえば、 第二期とは何ですか？

これはまったく別の話です。

この進行の期間を数えてみてください。 いくら手に入れましたか？ 私が持っています。 したがって、の場合、等比数列のメンバーの符号が交互になります。 つまり、メンバーに交互の符号が付いた進行が見られる場合、その分母は負です。 この知識は、このトピックに関する問題を解決するときに自分自身をテストするのに役立ちます。

それでは少し練習しましょう。どの数列が等比数列で、どれが算術であるかを判断してみてください。

了解した？ 私たちの答えを比較してみましょう：

• 等比数列-3、6。
• 等差数列-2、4。
• それは算術的または等比数列ではありません-1、5、7。

最後の進行に戻り、算術と同じ方法でその項を見つけてみましょう。 ご想像のとおり、それを見つけるには2つの方法があります。

各項にを連続して乗算します。

したがって、記述された等比数列のth番目のメンバーはに等しくなります。

ご想像のとおり、等比数列のメンバーを見つけるのに役立つ式を自分で導き出すことができます。 それとも、あなたはすでにそれをあなた自身のために持ち出し、th番目のメンバーを段階的に見つける方法を説明しましたか？ もしそうなら、あなたの推論の正しさをチェックしてください。

与えられた進行のth番目のメンバーを見つける例でこれを説明しましょう：

言い換えると：

与えられた等比数列のメンバーの価値を自分で見つけてください。

起こりました？ 私たちの答えを比較してみましょう：

等比数列の前の各項を連続して乗算すると、前の方法とまったく同じ数が得られることに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう。一般的な形式にして、次の式を取得します。

導出された式は、正と負の両方のすべての値に対して正しいです。 次の条件で等比数列のメンバーを計算して、自分で確認してください。

数えましたか？ 得られた結果を比較してみましょう：

メンバーと同じ方法で進行のメンバーを見つけることは可能であることに同意しますが、誤ったカウントの可能性があります。 そして、等比数列の第3項がすでに見つかっている場合は、式の「カットオフ」部分を使用するよりも簡単なことはありません。

無限に減少する等比数列。

最近、ゼロより大きくても小さくてもよいという事実について話しましたが、等比数列と呼ばれる特別な値があります 無限に減少.

なぜそんな名前だと思いますか？
まず、メンバーで構成される等比数列を書き留めましょう。
とすると、次のようになります。

後続の各項は前の項よりも1係数少ないことがわかりますが、いくつあるのでしょうか。 あなたはすぐにいいえと答えます。 そのため、無限に減少します-減少し、減少し、ゼロになることはありません。

視覚的にどのように見えるかを明確に理解するために、進行状況のグラフを描いてみましょう。 したがって、この場合、式は次の形式になります。

したがって、チャートへの依存を構築するのが通例です。

式の本質は変わっていません。最初のエントリでは、等比数列メンバーの値の序数への依存性を示し、2番目のエントリでは、等比数列項の値を、、およびとして単純に取りました。序数はどのようにではなく、どのように指定されました。 あとはグラフを作成するだけです。
あなたが得るものを見てみましょう。 これが私が得たグラフです：

見る？ 関数は減少し、ゼロになる傾向がありますが、それを超えることはないため、無限に減少しています。 グラフ上でポイントをマークし、同時に座標と意味をマークしましょう。

最初の項も等しい場合は、等比数列のグラフを概略的に描くようにしてください。 分析してください、前のチャートとの違いは何ですか？

あなたは管理しましたか？ これが私が得たグラフです：

等比数列のテーマの基本を完全に理解したので、それが何であるか、その用語を見つける方法、そして無限に減少する等比数列が何であるかを知っているので、その主要なプロパティに移りましょう。

等比数列プロパティ。

等差数列のメンバーの特性を覚えていますか？ はい、はい、特定の進行のメンバーの前後の値がある場合に、特定の数の進行の値を見つける方法。 覚えていますか？ この：

今、私たちは等比数列のメンバーに対してまったく同じ質問に直面しています。 同様の式を導き出すために、描画と推論を始めましょう。 ご覧のとおり、とても簡単です。忘れた場合は、自分で持ち出すことができます。

私たちが知っている別の単純な等比数列を見てみましょう。 見つけ方？ 等差数列を使用すると、これは簡単で単純ですが、ここではどうでしょうか。 実際、幾何学的にも複雑なことは何もありません。数式を使用して、与えられた各値を書き留めるだけです。

あなたは尋ねます、私たちは今これで何をすべきですか？ とても簡単です。 まず、これらの数式を図に示し、値に到達するためにさまざまな操作を試みます。

与えられた数字から抽象化し、数式で表現することにのみ焦点を当てます。 隣接するメンバーを知って、オレンジ色で強調表示されている値を見つける必要があります。 それらを使ってさまざまなアクションを実行してみてください。その結果、私たちは受け取ることができます。

添加。
2つの式を追加してみましょう。次のようになります。

この式から、ご覧のとおり、どのようにも表現できないため、別のオプションである減算を試してみます。

減算。

ご覧のとおり、これからも表現できないので、これらの表現を掛け合わせてみます。

乗算。

今、私たちが持っているものを注意深く見て、私たちに与えられた等比数列のメンバーを、見つける必要があるものと比較して乗算します：

私が話していることを推測しますか？ 正しく、見つけるには、目的の数に隣接する等比数列の平方根に互いに乗算する必要があります。

良い。 あなた自身が等比数列の性質を推測しました。 この式を一般的な言葉で書いてみてください。 起こりました？

条件を忘れましたか？ なぜそれが重要なのかを考えてください。たとえば、自分で計算してみてください。 この場合はどうなりますか？ そうです、式は次のようになっているので、まったくナンセンスです。

したがって、この制限を忘れないでください。

それでは、次の値を計算してみましょう。

正解 - ！ 計算で2番目の可能な値を忘れなかった場合、あなたは素晴らしい仲間であり、すぐにトレーニングに進むことができます。忘れた場合は、以下で説明する内容を読み、両方のルートを書き留める必要がある理由に注意してください。答えに。

両方の等比数列を描きましょう。1つは意味があり、もう1つは意味があり、両方に存在する権利があるかどうかを確認します。

そのような等比数列が存在するかどうかを確認するために、それがすべての与えられたメンバー間で同じであるかどうかを確認する必要がありますか？ 最初と2番目のケースのqを計算します。

なぜ2つの答えを書かなければならないのか分かりますか？ 必要な用語の符号は、それが正か負かによって異なるためです。 そして、彼が何であるかわからないので、プラスとマイナスの両方の答えを書く必要があります。

これで、要点をマスターし、等比数列のプロパティの式を導き出しました。

受け取った回答を正しい回答と比較します。

希望する数に隣接する等比数列のメンバーの値ではなく、それから等距離にある値が与えられた場合はどう思いますか？ たとえば、を見つける必要があり、とが与えられます。 この場合、導出した式を使用できますか？ 同じ方法でこの可能性を確認または拒否し、各値が何で構成されているかを書き留めて、最初に式を導き出します。
あなたは何をした？

もう一度よく見てください。
それに対応して：

このことから、式が機能すると結論付けることができます 隣人だけでなく等比数列の必要な条件だけでなく、 等距離求められているメンバーから。

したがって、最初の式は次の形式になります。

つまり、最初のケースでそれを言った場合、今ではそれより少ない自然数に等しくなる可能性があると言います。 主なことは、与えられた両方の数で同じであることです。

具体的な例を使って練習してください。細心の注意を払ってください。

1. 、。 探す。
2. 、。 探す。
3. 、。 探す。

決定しました？ あなたが非常に注意深く、小さなキャッチに気づいたことを願っています。

結果を比較します。

最初の2つのケースでは、上記の式を冷静に適用して、次の値を取得します。

3番目のケースでは、与えられた番号の序数を注意深く検討すると、探している番号から等距離ではないことがわかります。これは前の番号ですが、位置が削除されているため、不可能です。式を適用します。

それを解決する方法は？ 実際、思ったほど難しくはありません。 私たちに与えられたそれぞれの番号と必要な番号が何で構成されているかをあなたと一緒に書き留めましょう。

だから、私たちはとを持っています。 それらで何ができるか見てみましょう。 で割ることを提案します。 我々が得る：

データを次の式に代入します。

私たちが見つけることができる次のステップ-このために、結果の数の立方根を取る必要があります。

そして今、私たちは私たちが持っているものをもう一度見ます。 私たちはそれを持っていますが、それを見つける必要があり、それは今度は次のようになります：

計算に必要なすべてのデータが見つかりました。 式に代入します：

私たちの答え： .

別の同様の問題を自分で解決してみてください。
与えられた：、
探す：

いくら手に入れましたか？ 私が持っています - 。

ご覧のとおり、実際には、 1つの式だけを覚えてください-。 あなたはいつでもあなた自身で問題なく残りのすべてを撤回することができます。 これを行うには、紙に最も単純な等比数列を書き、上記の式に従って、それぞれの数が等しいものを書き留めます。

等比数列のメンバーの合計。

ここで、与えられた間隔で等比数列のメンバーの合計をすばやく計算できる式を考えてみましょう。

有限の等比数列のメンバーの合計の式を導出するには、上位の方程式のすべての部分にを掛けます。 我々が得る：

注意深く見てください：最後の2つの式には何が共通していますか？ そうです、たとえば、最初と最後のメンバーを除いて、共通のメンバーなどです。 2番目の方程式から1番目を引いてみましょう。 あなたは何をした？

ここで、式を介して等比数列の項を表現し、結果の式を最後の式に置き換えます。

式をグループ化します。 あなたは得るべきです：

あとはエクスプレスだけです。

したがって、この場合。

仮に？ では、どの式が機能しますか？ で等比数列を想像してみてください。 彼女はどんな人ですか？ 正しくは、それぞれ一連の同一の数値で、式は次のようになります。

算術と等比数列の両方に多くの伝説があります。 そのうちの1つは、チェスの作成者であるセスの伝説です。

多くの人々は、チェスゲームがインドで発明されたことを知っています。 ヒンズー教の王が彼女に会ったとき、彼は彼女の機知と彼女の可能な位置の多様性に喜んでいました。 それが彼の主題の1つによって発明されたことを知ったとき、王は彼に個人的に報酬を与えることに決めました。 彼は発明者を彼に召喚し、彼に彼が望むものは何でも頼むように命じ、最も巧みな欲求さえ満たすことを約束した。

瀬田は考える時間を求め、翌日セスが王に現れたとき、彼は彼の要求の比類のない謙虚さで王を驚かせました。 彼は、チェス盤の最初の正方形、2番目の正方形、小麦の穀物、3番目の正方形、4番目の正方形などに小麦の粒を配るように依頼しました。

王は怒り、セスを追い払って、召使いの要求は王室の寛大さに値しないと言ったが、召使いはボードのすべてのセルのために彼の穀物を受け取ると約束した。

そして今、質問：等比数列のメンバーの合計の式を使用して、瀬田が受け取るべき穀物の数を計算しますか？

推論を始めましょう。 条件に応じて、セスはチェス盤の最初の正方形、2番目、3番目、4番目などに小麦の粒を要求したので、問題は等比数列にあることがわかります。 この場合、何が等しいのですか？
右。

チェス盤の総セル数。 それぞれ、 。 すべてのデータがあります。それを数式に代入して計算するだけです。

与えられた数の少なくともおおよその「スケール」を表すために、次数のプロパティを使用して変換します。

もちろん、必要に応じて、計算機を使用して最終的に得られる数値を計算することもできますが、そうでない場合は、私の言葉を借りる必要があります。式の最終的な値は次のようになります。
あれは：

千兆兆兆兆億千兆。

Fuh）この数の巨大さを想像したい場合は、穀物の全量を収容するために必要な納屋の大きさを見積もります。
納屋の高さがm、幅がmの場合、その長さはkmだけ延長する必要があります。 地球から太陽までの2倍の距離。

王が数学に強い場合、彼は科学者自身が穀物を数えることを提案することができます。百万の穀物を数えるには、少なくとも1日はたゆまぬ数えが必要であり、数千億を数える必要があるとすると、穀物は彼の生涯を数える必要があります。

それでは、等比数列のメンバーの合計に関する簡単な問題を解いてみましょう。
5年生のAの生徒であるVasyaはインフルエンザにかかっていますが、学校に通い続けています。 Vasyaは毎日2人に感染し、さらに2人に感染します。 クラスには人がいます。 クラス全体がインフルエンザにかかるのは何日ですか？

したがって、等比数列の最初のメンバーはVasya、つまり人です。 等比数列のメンバーであるこれらは、彼が到着した初日に感染した2人です。 プログレッションのメンバーの総数は、学生5Aの数と同じです。 したがって、次のような進行について話します。

等比数列のメンバーの合計の式にデータを代入してみましょう。

クラス全体が数日で病気になります。 数式や数字を信じませんか？ 生徒自身の「感染」を描写してみてください。 起こりました？ それが私にとってどのように見えるかを見てください：

それぞれが人に感染し、クラスに人がいた場合、生徒がインフルエンザにかかるのに何日かかるかを自分で計算します。

どのような価値がありましたか？ 一日の後に誰もが病気になり始めたことが判明しました。

ご覧のとおり、このようなタスクとそれに描画することは、後続の各タスクが新しい人々を「もたらす」ピラミッドに似ています。 しかし、遅かれ早かれ、後者が誰も引き付けることができない瞬間が来ます。 私たちの場合、クラスが孤立していると想像すると、からの人はチェーンを閉じます（）。 したがって、ある人が他の2人の参加者を連れてきた場合にお金が与えられる金融ピラミッドに関与している場合、その人（または一般的な場合）はそれぞれ誰も連れてこないでしょう、彼らは彼らが持っているすべてを失うでしょうこの金融詐欺に投資しました。

上で述べたことはすべて、等比数列の減少または増加を指しますが、覚えているように、私たちには特別な種類があります-無限に減少する等比数列。 そのメンバーの合計を計算する方法は？ そして、なぜこのタイプの進行には特定の機能があるのですか？ 一緒に整理しましょう。

それで、最初に、私たちの例から無限に減少する等比数列のこの図をもう一度見てみましょう：

次に、少し前に導出された等比数列の合計の式を見てみましょう。
また

私たちは何を目指していますか？ そうです、グラフはそれがゼロになる傾向があることを示しています。 つまり、で、それぞれほぼ等しくなり、式を計算すると、ほぼ等しくなります。 この点で、無限に減少する等比数列の合計を計算する場合、このブラケットは等しくなるため、無視できると考えています。

- 式は、無限に減少する等比数列の項の合計です。

重要！条件が合計を見つける必要があることを明示的に示している場合にのみ、無限に減少する等比数列の項の合計の式を使用します エンドレスメンバーの数。

特定の数nが示されている場合は、またはであっても、n項の合計の式を使用します。

それでは練習しましょう。

1. とで等比数列の最初の項の合計を求めます。
2. とで無限に減少する等比数列の項の合計を求めます。

非常に気を配っていたと思います。 私たちの答えを比較してみましょう：

これで、等比数列についてのすべてがわかったので、理論から実践に移る時が来ました。 試験で遭遇する最も一般的な等比数列の問題は、複利の問題です。 私たちが話すのは彼らについてです。

複利を計算するためのタスク。

いわゆる複利計算式について聞いたことがあると思います。 彼女の意味がわかりますか？ そうでない場合は、それを理解しましょう。プロセス自体を実現したので、すぐに理解できます。これが等比数列です。

私たちは皆銀行に行き、預金にはさまざまな条件があることを知っています。これは用語であり、追加のサービスであり、単純なものと複雑なものの2つの異なる計算方法に関心があります。

と 単利すべてが多かれ少なかれ明確です：利息は預金期間の終わりに一度請求されます。 つまり、1年間に100ルーブルを置くと言うと、それは年末にのみクレジットされます。 したがって、デポジットの終了までに、ルーブルを受け取ります。

複利-これはあるオプションです 利息の資本化、 NS。 預金額への追加とその後の収入の計算は、最初からではなく、預金の累積額からです。 キャピタライゼーションは常に発生するわけではありませんが、ある程度の頻度で発生します。 原則として、そのような期間は等しく、ほとんどの場合、銀行は月、四半期、または年を使用します。

すべて同じルーブルを年率で、ただし預金の月次資本化で配置したとしましょう。 何が得られますか？

ここですべてを理解していますか？ そうでない場合は、段階的に理解しましょう。

私たちはルーブルを銀行に持ってきました。 月末までに、私たちの口座には、ルーブルとそれらに対する利息で構成される金額が含まれるはずです。

同意？

ブラケットの外側に配置すると、次のようになります。

同意します。この式は、最初に書いたものにすでに似ています。 関心に対処することは残っています

問題の説明では、年次について説明されています。 ご存知のように、私たちは乗算しません-パーセンテージを小数に変換します。つまり、次のようになります。

右？ 今、あなたは尋ねます、番号はどこから来たのですか？ とてもシンプル！
私は繰り返します：問題の声明は約 通年未収利息 毎月..。 ご存知のように、それぞれ1年の月に、銀行は1か月あたりの年利の一部を請求します。

気がついた？ ここで、利息が毎日計算されると言った場合、数式のこの部分がどのようになるかを書いてみてください。
あなたは管理しましたか？ 結果を比較してみましょう。

素晴らしい！ タスクに戻りましょう。預金の累積額に利息が請求されることを考慮して、2か月目にアカウントにクレジットされる金額を書き留めます。
これが私が得たものです：

または、言い換えると：

あなたはすでにパターンに気づき、このすべてにおいて等比数列を見たと思います。 そのメンバーが何に等しいか、言い換えれば、月末に受け取る金額を書き留めます。
やりました？ チェック中！

ご覧のとおり、単純な利子で1年間銀行にお金を入れると、ルーブルを受け取ります。複雑なレートの場合は、ルーブルを受け取ります。 メリットはわずかですが、これは3年目にのみ発生しますが、より長い期間、資本化の方がはるかに収益性が高くなります。

複利に関する別のタイプの問題について考えてみましょう。 あなたが理解した後、それはあなたにとって初歩的なものになるでしょう。 したがって、タスク：

ズヴェズダの会社は2000年に業界への投資を開始し、資本はドルでした。 2001年から毎年、彼女は前年の資本から利益を得ています。 利益が流通から引き出されていない場合、ズヴェズダの会社は2003年末にどのくらいの利益を受け取りますか？

2000年の会社「Zvezda」の首都。
-2001年の会社「Zvezda」の首都。
-2002年の会社「Zvezda」の首都。
-2003年の会社「Zvezda」の首都。

または、簡単に書くことができます：

私たちの場合：

2000、2001、2002および2003。

それぞれ：
ルーブル
この問題では、パーセンテージは年に1回与えられ、年に1回計算されるため、による除算も、による除算もありません。 つまり、複利の問題を読むときは、何パーセントが与えられ、どの期間に請求されるかに注意を払い、それから計算に進んでください。
今、あなたは等比数列についてのすべてを知っています。

いい結果。

1. それがわかっている場合は指数項を見つけ、そして
2. 等比数列の最初の項の合計がわかっている場合は、その合計を求めます。
3. MDMキャピタルは2003年に業界への投資を開始し、資本はドルでした。 彼女は2004年から毎年、前年の資本から利益を得ています。 会社「MSKキャッシュフロー」は、2005年に10,000ドルの金額で業界への投資を開始し、2006年にその金額で利益を上げ始めました。 利益が流通から引き出されていない場合、2007年末のある会社の資本は他の会社より何ドル多いでしょうか。

回答：

1. 問題ステートメントは進行が無限であるとは述べておらず、そのメンバーの特定の数の合計を見つける必要があるため、計算は次の式に従って実行されます。
2. 
   MDMキャピタル：

   2003、2004、2005、2006、2007。
   -100％、つまり2倍に増加します。
   それぞれ：
   ルーブル
   MSKキャッシュフロー：

   2005、2006、2007。
   -、つまり、倍に増加します。
   それぞれ：
   ルーブル
   ルーブル

要約しましょう。

1）等比数列（）は、最初の項がゼロ以外の数値シーケンスであり、2番目から始まる各項は、前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。 この数は、等比数列の分母と呼ばれます。

2）等比数列のメンバーの方程式-。

3）とを除く任意の値を取ることができます。

• の場合、進行の後続のすべてのメンバーが同じ符号を持ちます-彼らは ポジティブ;
• の場合、進行の後続のすべてのメンバー 代替標識;
• at-進行は無限に減少すると呼ばれます。

4）、は等比数列の特性です（隣接する項）

また
、at（等距離）

見つけるとき、それを忘れないでください 2つの答えがあるはずです.

例えば、

5）等比数列のメンバーの合計は、次の式で計算されます。
また

また

重要！無限に減少する幾何学的進行の項の合計の式は、条件が無限の数の項の合計を見つける必要があることを明示的に示している場合にのみ使用します。

6）複利の問題も、資金が循環から引き出されていない場合、等比数列の第6項の式に従って計算されます。

等比数列。 メインについて簡単に

等比数列（）は数値シーケンスであり、その最初の項はゼロ以外であり、2番目から始まる各項は、前の項に同じ数を掛けたものと等しくなります。 この番号は呼ばれます 等比数列の分母。

等比数列の分母およびを除く任意の値を取ることができます。

• の場合、進行の後続のすべてのメンバーが同じ符号を持ちます-それらは正です。
• の場合、進行の後続のすべてのメンバーが交互の兆候を示します。
• at-進行は無限に減少すると呼ばれます。

等比数列のメンバーの方程式 - .

等比数列のメンバーの合計次の式で計算されます。
また

進行が無限に減少している場合は、次のようになります。

さて、トピックは終わりました。 あなたがこれらの行を読んでいるなら、あなたはとてもクールです。

自分で何かをマスターできるのは5％の人だけだからです。 そして最後まで読んだら、あなたはその5％にいます！

今、最も重要なことが来ます。

あなたはこのトピックに関する理論を理解しました。 そして、繰り返しますが、これは...それはただのスーパーです！ あなたはすでにあなたの仲間の大多数よりも優れています。

問題は、これでは不十分かもしれないということです...

何のために？

試験に合格するため、予算内で研究所に入学するため、そして最も重要なのは生涯です。

私はあなたに何も納得させません、私はただ一つのことを言います...

良い教育を受けた人は、受けていない人よりもはるかに多くの収入を得ます。 これらは統計です。

しかし、これも主要なことではありません。

主なことは、彼らがもっと幸せであるということです（そのような研究があります）。 おそらく彼らにはもっとたくさんの機会があり、人生が明るくなるからだろうか？ わかりません...

しかし、自分で考えてください...

試験で他の人よりも確実に良くなり、最終的に...もっと幸せになるには何が必要ですか？

このトピックで手解決の問題を取得します。

試験では、理論を求められることはありません。

必要になるだろう しばらくの間タスクを解決する.

そして、もしあなたがそれらを解決しなかったなら（たくさん！）、あなたは愚かな間違いでどこかに行くことは確実であるか、単に時間がないでしょう。

それはスポーツのようなものです-確実に勝つためにはそれを何度も繰り返す必要があります。

必要な場所にコレクションを見つけて、 必然的にソリューション、詳細な分析そして決定し、決定し、決定しなさい！

あなたは私たちのタスク（オプション）を使うことができます、そしてもちろん、私たちはそれらをお勧めします。

あなたの手を私たちの仕事で満たすために、あなたはあなたが現在読んでいるYouClever教科書の寿命を延ばすのを手伝う必要があります。

どのように？ 2つのオプションがあります：

1. この記事のすべての隠されたタスクを共有する-
2. チュートリアルの99の記事すべてで非表示のすべてのタスクへのアクセスのロックを解除します- 教科書を購入する-499ルーブル

はい、教科書には99のそのような記事があり、すべてのタスクとその中のすべての非表示のテキストへのアクセスを一度に開くことができます。

すべての非表示のタスクへのアクセスは、サイトの存続期間全体にわたって提供されます。

結論は...

私たちのタスクが気に入らない場合は、他の人を見つけてください。 理論にこだわるな。

「わかった」と「解決できる」は全く違うスキルです。 両方が必要です。

問題を見つけて解決してください！

等比数列は、等差数列とともに、9年生の学校代数コースで研究されている重要な数列です。 この記事では、等比数列の分母と、その値がそのプロパティにどのように影響するかを検討します。

等比数列の定義

まず、この数列の定義を示しましょう。 等比数列は一連の有理数と呼ばれ、最初の要素に分母と呼ばれる定数を順次乗算することによって形成されます。

たとえば、行3、6、12、24、...の数値は等比数列です。これは、3（最初の要素）に2を掛けると、6が得られるためです。6に2を掛けると、次のようになります。 12など。

検討中のシーケンスのメンバーは、通常、記号aiで示されます。ここで、iは、行内の要素の数を示す整数です。

上記の進行の定義は、数学の言語で次のように書くことができます。a= bn-1 * a1、ここでbは分母です。 この式を確認するのは簡単です。n= 1の場合、b1-1 = 1であり、a1 = a1が得られます。 n = 2の場合、a = b * a1であり、検討中の一連の数の定義に再び到達します。 nの値が大きい場合も、同様の推論を続けることができます。

等比数列の分母

数字bは、数字シリーズ全体が持つ文字を完全に決定します。 分母bは、正、負、または1より大きくても小さくてもかまいません。 これらのオプションはすべて、異なるシーケンスにつながります。

• b> 1。有理数のシリーズが増えています。 たとえば、1、2、4、8、...要素a1が負の場合、シーケンス全体は絶対値でのみ増加しますが、数値の符号に関しては減少します。
• b = 1。このような場合は、通常の一連の同一の有理数があるため、進行とは呼ばれないことがよくあります。 たとえば、-4、-4、-4。

金額の計算式

考慮される進行タイプの分母を使用して特定の問題の検討に進む前に、最初のn個の要素の合計に対して重要な式を指定する必要があります。 式は次のとおりです。Sn=（bn-1）* a1 /（b-1）。

進行のメンバーの再帰的なシーケンスを検討する場合、この式を自分で取得できます。 また、上記の式では、任意の数の項の合計を見つけるには、最初の要素と分母だけを知っていれば十分であることに注意してください。

無限に減少するシーケンス

上記はそれが何であるかについての説明を与えられました。 ここで、Snの式がわかったら、それをこの数列に適用します。 モジュラスが1を超えない数は、大きく上げるとゼロになる傾向があるため、-1の場合、b∞=> 0になります。

分母の値に関係なく、差（1-b）は常に正であるため、幾何学的S∞の無限に減少する進行の合計の符号は、最初の要素a1の符号によって一意に決定されます。

次に、いくつかのタスクを検討します。ここでは、特定の数値で得られた知識を適用する方法を示します。

問題番号1。進行と合計の未知の要素の計算

等比数列が与えられ、進行の分母は2、最初の要素は3です。7番目と10番目の項は何になり、7つの最初の要素の合計は何になりますか？

問題の条件は非常に単純に構成されており、上記の式を直接使用することを前提としています。 したがって、数値nの要素を計算するには、式an = bn-1 * a1を使用します。 7番目の要素の場合：a7 = b6 * a1、既知のデータを代入すると、次のようになります：a7 = 26 * 3 =192。10番目の項についても同じことを行います：a10 = 29 * 3 = 1536。

よく知られている合計の式を使用して、シリーズの最初の7つの要素についてこの値を決定しましょう。 S7 =（27-1）* 3 /（2-1）= 381です。

問題番号2。進行の任意の要素の合計の決定

-2を指数関数的進行bn-1 * 4の分母とします。ここで、nは整数です。 このシリーズの5番目から10番目の要素までの量を決定する必要があります。

提起された問題は、既知の公式を使用して直接解決することはできません。 それは2つの異なる方法で解決できます。 完全を期すために、両方を提示します。

方法1.その考え方は単純です。最初の項の2つの対応する合計を計算してから、一方からもう一方を減算する必要があります。 小さい方の量を計算します：S10 =（（-2）10-1）* 4 /（-2-1）=-1364。 ここで、大きな合計を計算します：S4 =（（-2）4 --1）* 4 /（-2 --1）=-20。 最後の式では、問題の状態に応じて計算する必要がある合計に5番目がすでに含まれているため、4つの項のみが合計されていることに注意してください。 最後に、違いを取ります：S510 = S10-S4 = -1364-（-20）=-1344。

方法2.数を代入して数える前に、問題の級数のメンバーmとnの間の合計の式を取得できます。 方法1とまったく同じことを行いますが、最初に合計の記号表現を処理するだけです。 Snm =（bn-1）* a1 /（b-1）-（bm-1- 1）* a1 /（b-1）= a1 *（bn-bm-1）/（b-1） 。 結果の式で、既知の数値を代入して、最終結果を計算できます：S105 = 4 *（（-2）10-（-2）4）/（-2-1）=-1344。

問題番号3。分母は何ですか？

a1 = 2とし、その無限の合計が3であり、これが減少する一連の数であることがわかっている場合、等比数列の分母を見つけます。

問題の状態から、どの式を使用して問題を解決するかを簡単に推測できます。 もちろん、進行の合計は無限に減少しています。 S∞= a1 /（1-b）があります。 ここから分母を表します：b = 1 --a1 /S∞。 既知の値に置き換えて、必要な数を取得する必要があります：b = 1-2 / 3 = -1 / 3または-0.333（3）。 このタイプのシーケンスでは、係数bが1を超えてはならないことを思い出せば、この結果を定性的に確認できます。ご覧のとおり、| -1/3 |

問題番号4。一連の番号の回復

数値級数の2つの要素を指定します。たとえば、5番目は30に等しく、10番目は60に等しくなります。等比数列の特性を満たしていることを知って、これらのデータから級数全体を再構築する必要があります。

この問題を解決するには、まず、既知の各用語に対応する式を書き留める必要があります。 a5 = b4 * a1およびa10 = b9 * a1があります。 ここで、2番目の式を最初の式で除算すると、次のようになります。a10/ a5 = b9 * a1 /（b4 * a1）= b5。 ここから、問題の状態から既知の項の比率の5乗根、b = 1.148698を取得して分母を決定します。 結果の数値を既知の要素の式の1つに代入すると、次のようになります。a1= a5 / b4 = 30 /（1.148698）4 = 17.2304966。

したがって、等比数列bnの分母が何であるか、および等比数列bn-1 * 17.2304966 = an、ここでb = 1.148698であることがわかりました。

等比数列はどこで使用されますか？

この数列の適用が実際になかった場合、その研究は純粋に理論的な関心に還元されます。 しかし、そのようなアプリケーションがあります。

以下は、最も有名な3つの例です。

• 賢いアキレスが遅いカメに追いつくことができないというゼノンのパラドックスは、無限に減少する数のシーケンスの概念を使用して解決されます。
• チェス盤の各正方形に小麦の穀物を置き、1つの正方形に1つの穀物、2番目に2-、3番目に3-というように配置する場合、18446744073709551615の穀物がすべての正方形を埋める必要があります。ボード！
• ハノイの塔のゲームでは、ディスクをあるロッドから別のロッドに再配置するために、2n-1の操作を実行する必要があります。つまり、使用するディスクの数nに応じてディスクの数が指数関数的に増加します。

数学はそれによって人々は自然と自分自身をコントロールします。

ソビエトの数学者、学者A.N. コルモゴロフ

等比数列。

等差数列の問題に加えて、等比数列の概念に関連する問題も数学の入試で一般的です。 このような問題をうまく解決するには、等比数列の特性を知り、それらを使用するための優れたスキルを持っている必要があります。

この記事は、等比数列の基本的なプロパティのプレゼンテーションに専念しています。 また、典型的なタスクを解決する例も提供します。, 数学の入学試験の課題から借りた。

最初に等比数列の主な特性に注目し、最も重要な式とステートメントを思い出します, この概念に関連しています。

意味。数値シーケンスは、2番目から始まる各数値が前の数値に同じ数を掛けたものと等しい場合、等比数列と呼ばれます。 この数は、等比数列の分母と呼ばれます。

等比数列の場合数式は有効です

, (1)

どこ 。 式（1）は、等比数列の一般項の式と呼ばれ、式（2）は、等比数列の主な特性です。等比数列の各項は、隣接するメンバーの幾何平均と一致します。

ノート、 考慮される進行が「幾何学的」と呼ばれるのは、まさにこの特性のためです。

上記の式（1）および（2）は、次のように一般化されます。

, (3)

金額を計算するには最初 等比数列のメンバー式が適用されます

私たちが示すならば、

どこ 。 以来、式（6）は式（5）の一般化です。

との場合、 等比数列無限に減少しています。 金額を計算するには無限に減少する等比数列のすべてのメンバーのうち、式が使用されます

. (7)

例えば ​​、 式（7）を使用すると、次のようになります。、 何

どこ 。 これらの等式は、（第1の等式）および（第2の等式）を条件として、式（7）から得られます。

定理。もしそうなら、

証拠。 もしそうなら、

定理が証明されます。

「等比数列」というトピックで問題を解決する例の検討に移りましょう。

例1。与えられた：、および。 探す 。

解決。式（5）を適用すると、

答え： 。

例2。としましょう。 探す 。

解決。およびから、式（5）、（6）を使用して、連立方程式を取得します。

システム（9）の2番目の方程式を最初の方程式で割った場合、次にまたは。 したがって、それは続き、 ..。 2つのケースを考えてみましょう。

1.の場合、 次に、システム（9）の最初の方程式から次のようになります。.

2.の場合、。

例3。、そして。 探す 。

解決。式（2）から、次のようになります。 以来、それからまたは。

条件により。 ただし、したがって。 以来、 次に、ここに連立方程式があります

システムの2番目の方程式を最初の方程式で割ると、または。

以来、方程式には単一の適切な根があります。 この場合、それはシステムの最初の方程式から得られます。

式（7）を考慮すると、次のようになります。

答え： 。

例4。与えられた：と。 探す 。

解決。それ以来。

それ以来、どちらか

式（2）によれば、次のようになります。 これに関連して、等式（10）からまたはを取得します。

ただし、条件により、したがって。

例5。と知られている 。 探す 。

解決。 定理によれば、2つの等式があります

以来、それからまたは。 それ以来。

答え： 。

例6。与えられた：と。 探す 。

解決。式（5）を考慮すると、次のようになります。

それ以来。 以来、そして、そして。

例7。としましょう。 探す 。

解決。式（1）によれば、次のように書くことができます。

したがって、またはがあります。 と、したがって、とが知られています。

答え： 。

例8。次の場合、無限に減少する等比数列の分母を見つけます

と 。

解決。 式（7）から次のようになりますと ..。 これと問題の条件から、連立方程式が得られます。

システムの最初の方程式が2乗されている場合, 次に、結果の方程式を2番目の方程式で除算します、それから私達は得る

または 。

答え： 。

例9。シーケンスが等比数列であるすべての値を見つけます。

解決。、そして。 等比数列の主な特性を定義する式（2）に従って、またはを書くことができます。

これから二次方程式が得られます, そのルーツはと 。

確認しましょう、その後、および; if、then、および。

最初のケースでは、そして、そして2番目に-そして。

答え： 、 。

例10。方程式を解く

, (11)

どこと。

解決。 式（11）の左辺は、無限に減少する等比数列の合計です。ここで、およびは、およびを条件とします。

式（7）から次のようになります、 何 ..。 この点で、式（11）は次の形式を取ります。また ..。 適切なルート 二次方程式は

答え： 。

例11。 NS 正の数のシーケンス等差数列を形成します、 NS -等比数列、それはと何の関係がありますか。 探す 。

解決。なぜなら 等差数列、 それから （等差数列の主な特性）。 限り、次にまたは。 これは、 等比数列が形をしていること..。 式（2）によると、それからそれを書き留めます。

以来、そして、 ..。 この場合、式またはの形式を取ります。 条件により、 したがって、方程式から検討した問題の独自の解決策を取得します、 NS。 ..。

答え： 。

例12。金額を計算する

. (12)

解決。 等式（12）の両側に5を掛けて、

得られた式から減算すると（12）、 それから

また 。

計算するには、式（7）の値を代入すると、次のようになります。 それ以来。

答え： 。

ここで紹介する問題解決の例は、入試の準備に役立つでしょう。 問題解決方法のより深い研究のために, 指数関数的に関連, に使える チュートリアル推奨文献のリストから。

1.高等専門学校への志願者のための数学の問題のコレクション/エド。 M.I. スカナビ。 -M 。：平和と教育、2013年.-- 608p。

2. Suprun V.P. 高校生のための数学：学校のカリキュラムの追加セクション。 -M 。：レナンド/ URSS、2014 .-- 216p。

3. Medynsky M.M. 問題と演習における初等数学の完全なコース。 ブック2：番号のシーケンスと進行。 -M。：Editus、2015 .-- 208p。

まだ質問がありますか？

家庭教師から助けを得るには-登録してください。

サイトでは、資料の完全または部分的なコピーを使用して、ソースへのリンクが必要です。

等比数列のn番目の項の式は非常に単純です。 意味と一般的な外観の両方。 しかし、n番目の項の式には、非常に原始的なものから非常に深刻なものまで、あらゆる種類の問題があります。 そして、私たちの知人の過程で、私たちは間違いなく両方を考慮します。 さて、知り合いになりましょう？）

だから、初心者自身のために 方式NS

彼女はそこだ：

b n = NS 1 · q n -1

公式としての公式、超自然的なものは何もありません。 の同様の式よりもさらにシンプルでコンパクトに見えます。 数式の意味もフェルトブーツのようにシンプルです。

この式を使用すると、等比数列の任意のメンバーをその番号で見つけることができます。 NS".

ご覧のとおり、その意味は等差数列との完全な類似性です。 私たちは数nを知っています-この数の下で項を計算することもできます。 私たちが欲しいもの。 何度も何度も「q」を順番に掛けることなく。 それが要点です。）

プログレッションを伴うこのレベルの作業では、数式に含まれるすべての値がすでに明確になっているはずですが、それでもそれぞれを解読することが私の義務であると考えています。 念のため。

じゃ、行こう：

NS 1 – 初め等比数列のメンバー。

NS – ;

NS- 会員番号;

b n – n番目（NSNS）等比数列のメンバー。

この式は、等比数列の4つの主要なパラメーターを結び付けます- NSNS, NS 1 , NSと NS..。 そして、これらの4つの重要人物を中心に、進行中のすべてのタスクが回転します。

「どのように表示されますか？」-不思議な質問が聞こえます...初級！ 見て！

に等しいもの 2番目プログレッションのメンバー？ 問題ない！ 私たちは直接書きます：

b 2 = b 1 q

そして第三期？ 問題ありません！ 第2項を掛けます もう一度NS.

このような：

B 3 = b 2 q

ここで、2番目の項がb 1 qに等しいことを思い出し、この式を等式に代入します。

B 3 = b 2 q =（b 1 q）q = b 1 q q = b 1 q 2

我々が得る：

NS 3 = b 1 q 2

それでは、ロシア語のエントリを読んでみましょう。 三番目項は、最初の項にqを掛けたものに等しい 2番目程度。 わかりますか？ まだ？ さて、もう1つのステップ。

第4項は何ですか？ すべて同じです！ かける 前（つまり、第3項）by q：

B 4 = b 3 q =（b 1 q 2）q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

合計：

NS 4 = b 1 q 3

そして再び私たちはロシア語に翻訳します： 第4項は、最初の項にqを掛けたものに等しい 三番目程度。

NS。 では、どうやって？ パターンを手に入れましたか？ はい！ 任意の数の任意の項について、同一の因子の数q（つまり、分母の次数）は常に次のようになります。 必要な期間の数より1つ少ないNS.

したがって、私たちの式は、オプションなしで次のようになります。

b n =NS 1 · q n -1

これですべてです。）

さて、問題を解決しましょう、おそらく？）

数式の問題を解決するNS等比数列のメンバー。

いつも通りを始めよう、数式を直接適用してみましょう。 典型的な問題は次のとおりです。

指数関数的に知られている NS 1 = 512および NS = -1 / 2。 進行中の10番目の用語を見つけます。

もちろん、この問題は数式がまったくなくても解決できます。 等比数列の意味の範囲内で直接。 しかし、n番目の項の式でウォームアップする必要がありますよね？ だから私たちはウォームアップします。

式を適用するためのデータは次のとおりです。

最初のメンバーは既知です。 512です。

NS 1 = 512.

進行の分母も知られています： NS = -1/2.

メンバーnの数を把握することだけが残っています。 問題ない！ 第10期に興味がありますか？ だから私たちは 一般式 nの代わりに10。

そして、算術を正確に数えます。

回答：-1

ご覧のとおり、進行の第10項はマイナスであることが判明しました。 当然のことながら、進行の分母は-1/2です。つまり、 ネガティブ番号。 そして、これは私たちの進歩の兆候が交互になっていることを示しています、はい。）

ここではすべてが簡単です。 これも同様の問題ですが、計算に関してはもう少し複雑です。

次のことが指数関数的に知られています。

NS 1 = 3

進行中の13番目の用語を見つけます。

すべてが同じですが、今回だけ進行の分母は 不合理..。 2つのルート。 まあ、それは大丈夫です。 数式は普遍的なものであり、任意の数に対応します。

次の式に従って直接作業します。

もちろん、式は正常に機能しましたが、...これは一部がフリーズする場所です。 次にルートをどうするか？ ルートを12乗する方法は？

どのように、どのように...あなたはもちろんどんな公式も良いことであることを理解しなければなりません、しかし以前のすべての数学の知識はキャンセルされません！ 構築する方法は？ はい、覚えておくべき学位の特性です！ ルートをに変えましょう 分数の指数および-べき乗式による。

このような：

回答：192

そしてそれがすべてです。）

n項式を直接適用する際の主な問題は何ですか？ はい！ 主な難しさは 度で動作します！つまり、-負の数、分数、根などの累乗になります。 それで、これに問題がある人は、学位とその特性を繰り返すことを緊急に要求してください！ そうでなければ、あなたはこのトピックで遅くなります、はい...）

それでは、典型的な検索問題を解決しましょう 式要素の1つ他のすべてが与えられた場合。 このような問題をうまく解決するために、レシピは均一で非常に単純です- 式を書くNS一般的には第3メンバー！状態の隣のノートブックで。 そして、その状態から、何が与えられ、何が欠けているのかを把握します。 そして、式から必要な値を表現します。 すべての！

たとえば、そのような無害なタスク。

分母3の等比数列の5番目の項は567です。この進行の最初の項を見つけます。

複雑なことは何もありません。 私たちは呪文によって直接働きます。

n番目の項の式を書きます！

b n = NS 1 · q n -1

私たちに何が与えられましたか？ まず、進行の分母が与えられます： NS = 3.

さらに、私たちは与えられます 第5期: NS 5 = 567 .

すべての？ 番号！ 番号nも与えられます！ これは5です：n = 5。

レコーディングの内容をすでに理解していることを願っています NS 5 = 567 2つのパラメーターが同時に非表示になります。これは5番目の項自体（567）とその数（5）です。 同様のレッスンで、私はすでにこれについて話しましたが、ここであなたに思い出させることは不必要ではないと思います。）

次に、データを式に代入します。

567 = NS 1 ・3 5-1

算術を数え、単純化し、単純な線形方程式を取得します。

81 NS 1 = 567

私たちは解決して得ます：

NS 1 = 7

ご覧のとおり、最初のメンバーを見つけるのに問題はありません。 しかし、分母を探すとき NSと数字 NS驚きがあるかもしれません。 そして、あなたは彼らのために準備する必要もあります（驚きのために）、はい。）

たとえば、この問題は次のとおりです。

正の分母を持つ等比数列の第5項は162であり、この進行の第1項は2です。進行の分母を見つけます。

今回は第1期と第5期が与えられ、進行の分母を見つけるように求められます。 それでは始めましょう。

式を書くNSthメンバー！

b n = NS 1 · q n -1

初期データは次のとおりです。

NS 5 = 162

NS 1 = 2

NS = 5

意味が足りない NS..。 問題ない！ 今、私たちはそれを見つけるでしょう。）私たちは私たちが知っているすべてを式に代入します。

我々が得る：

162 = 2NS 5-1

2 NS 4 = 162

NS 4 = 81

単純な4次方程式。 でも今 - きちんと！ソリューションのこの段階では、多くの生徒がすぐに喜んでルート（4次）を抽出し、答えを取得します。 NS=3 .

このような：

q 4 = 81

NS = 3

しかし実際には、これは未完成の答えです。 より正確には、不完全です。 どうして？ 重要なのは、答えは NS = -3 また適合します：（-3）4も81になります！

これは、電力方程式が x n = NS常に持っています 2つの反対の根で 平NS . プラスとマイナスの場合：

どちらもフィットします。

たとえば、解く（つまり 2番目程度）

x 2 = 9

どういうわけか、見た目には驚かない 2根x =±3？ これも同じです。 そして他のものと 平学位（4、6、10など）は同じになります。 詳細-についてのトピックで

したがって、正しい解決策は次のようになります。

NS 4 = 81

NS=±3

さて、私たちは兆候を理解しました。 どちらが正しいですか-プラスまたはマイナス？ さて、問題の状況をもう一度読んでみました 追加情報。もちろん、そこにはないかもしれませんが、このタスクではそのような情報があります 利用可能。私たちの状態では、進行は次のように与えられることがプレーンテキストで述べられています 正の分母。

したがって、答えは明らかです。

NS = 3

ここではすべてが簡単です。 問題の説明が次のようになったらどうなると思いますか。

等比数列の第5項は162で、この進行の第1項は2です。進行の分母を見つけます。

違いはなんですか？ はい！ 状態 なし分母の符号については言われていません。 直接的にも間接的にも。 そしてここでタスクはすでに持っているでしょう 2つの解決策！

NS = 3 と NS = -3

はいはい！ そしてプラスとマイナスで。）数学的には、この事実は 2つの進行問題の状態に一致します。 そしてそれぞれのために-それ自身の分母。 楽しみのために、それぞれの最初の5人のメンバーを練習して書き留めてください。）

それでは、会員番号を探す練習をしましょう。 はい、これは最も難しい作業です。 しかし、より創造的でもあります。）

等比数列が与えられます：

3; 6; 12; 24; …

この進行の768という数字は何ですか？

最初のステップは同じです： 式を書くNSthメンバー！

b n = NS 1 · q n -1

そして今、いつものように、私たちは知っているデータをそれに置き換えます。 うーん...代用しない！ 最初の項はどこですか、分母はどこですか、他のすべてはどこですか？！

どこで、どこで...そしてなぜ私たちは目を必要とするのですか？ まつげをたたく？ 今回は、進行状況が直接フォームで提供されます 順序。最初の用語を見ますか？ 私たちは見る！ これはトリプルです（b 1 = 3）。 分母はどうですか？ まだわかりませんが、数えるのはとても簡単です。 もちろん、あなたが理解しているなら。

だから私たちは数えます。 等比数列の意味で直接：メンバーのいずれか（最初のメンバーを除く）を取得し、前のメンバーで除算します。

少なくともこのように：

NS = 24/12 = 2

他に何を知っていますか？ また、この進行の特定のメンバー、768に等しいことも知っています。ある数nの下で：

b n = 768

私たちは彼の番号を知りませんが、私たちの仕事は正確にそれを見つけることです。）それで私たちは探しています。 数式に代入するために必要なすべてのデータをすでにダウンロードしています。 自分には知られていない。）

したがって、次のように置き換えます。

768 = 3.2NS -1

基本的なものを実行します。両方の部分を3つに分割し、方程式を通常の形式で書き直します。左側が不明、右側が既知です。

我々が得る：

2 NS -1 = 256

これが興味深い方程式です。 「n」を見つける必要があります。 何が珍しいですか？ はい、私は主張しません。 実際、これが最も簡単です。 それは未知のもの（この場合、それは数です）という事実のためにそう呼ばれています NS）に立つ インジケータ程度。

等比数列を知っている段階（これは9年生です）では、指数方程式を解くように教えられていません、はい...これは高校のトピックです。 しかし、ひどいことは何もありません。 そのような方程式がどのように解かれるかわからない場合でも、私たちは私たちを見つけようとします NS単純な論理と常識によって導かれます。

私たちは推論し始めます。 左側にデュースがあります ある程度..。 この程度が正確に何であるかはまだわかりませんが、これは怖いことではありません。 しかし一方で、この程度は256に等しいことを私たちはしっかりと知っています！ したがって、2が256をどの程度与えるかを覚えています。覚えていますか？ はい！ V 第8程度！

256 = 2 8

問題の程度を覚えていない、または認識していない場合は、問題ありません。2つを正方形、立方体、4度、5度などに順番に上げていきます。 選択は、実際には、しかしこのレベルでは-かなりの乗り物です。

いずれにせよ、次のようになります。

2 NS -1 = 2 8

NS-1 = 8

NS = 9

つまり、768は 9番目私たちの進歩のメンバー。 これで問題は解決しました。）

回答：9

何？ つまらない？ エレメンタリズムにうんざりしていませんか？ 同意。 私も。 次のレベルに進みましょう。）

より挑戦的なタスク。

そして今、私たちは問題をより突然解決します。 必ずしも超クールというわけではありませんが、答えを得るにはまだ少し作業が必要です。

たとえば、これ。

4番目の項が-24で、7番目の項が192の場合、等比数列の2番目の項を見つけます。

これはこのジャンルの古典です。 進行のいくつかの2つの異なるメンバーが知られていますが、さらにいくつかのメンバーを見つける必要があります。 さらに、すべてのメンバーが隣接しているわけではありません。 最初は恥ずかしいです、はい...

のように、このような問題を解決するための2つの方法を検討します。 最初の方法は普遍的です。 代数。 すべてのソースデータで問題なく動作します。 したがって、私たちは彼から始めます。）

式に従って各用語を書き留めます NSthメンバー！

すべてが等差数列とまったく同じです。 今回だけ一緒に仕事をします 別一般式。 それだけです。）しかし、本質は同じです。 一つずつ初期データをn番目の項の式に代入します。 各メンバーのために-彼ら自身。

4番目のメンバーについては、次のように記述します。

NS 4 = NS 1 · NS 3

-24 = NS 1 · NS 3

がある。 1つの方程式の準備ができています。

7番目のメンバーについては、次のように記述します。

NS 7 = NS 1 · NS 6

192 = NS 1 · NS 6

合計で、次の2つの方程式が得られました。 同じ進行 .

それらからシステムを収集します。

その手ごわい外観にもかかわらず、システムは非常にシンプルです。 最も明白な解決策は、単純な置換です。 私たちは表現します NS 1 上の式から下の式に代入します。

下の式を少しいじった後（累乗を減らして-24で割ることにより）、次のようになります。

NS 3 = -8

ちなみに、あなたはもっと簡単な方法で同じ方程式にたどり着くことができます！ どのように？ ここで、そのようなシステムを解決するためのもう1つの秘密ですが、非常に美しく、強力で便利な方法を紹介します。 その方程式のそのようなシステムは座っています のみ機能します。少なくとも一つの。 と呼ばれる 項除算法ある方程式から別の方程式へ。

だから、私たちの前にシステムがあります：

左の両方の方程式で- 仕事右側は数字です。 これはとても 良いしるし。）取りましょう...たとえば、下の方程式を上の方程式で割ります！ どういう意味ですか ある方程式を別の方程式で割りますか？とてもシンプルです。 私たちは取る 左側 1つの方程式（下）と 分ける彼女に 左側別の方程式（上）。 右側も同様です。 右側 1つの方程式 分けるオン 右側別。

除算のプロセス全体は次のようになります。

削減されたものすべてを削減したので、次のようになります。

NS 3 = -8

なぜこの方法が良いのですか？ はい、そのような分割の過程で、悪いことや不便なことはすべて安全に減らすことができ、完全に無害な方程式が残るからです！ だからこそ、持っていることがとても重要です 掛け算のみシステムの方程式の少なくとも1つで。 掛け算はありません-減らすものは何もありません、はい...

一般に、この方法は（システムを解決する他の多くの重要な方法と同様に）別のレッスンに値します。 私は間違いなくそれをより詳細に分析します。 いつか…

ただし、システムをどのように解くかは問題ではありません。いずれの場合も、結果の方程式を解く必要があります。

NS 3 = -8

問題ありません：ルート（立方根）を抽出すれば完了です！

抽出するときにここにプラス/マイナスを入れる必要はないことに注意してください。 奇数（3番目）のルートがあります。 そして答えも同じです、はい。）

したがって、進行の分母が見つかりました。 マイナス2。 罰金！ プロセスは進行中です。）

最初の項（たとえば、上の式から）については、次のようになります。

罰金！ 私たちは最初の用語を知っています、私たちは分母を知っています。 そして今、私たちは進行のメンバーを見つける機会があります。 2番目のものを含みます。）

第2項では、すべてが非常に単純です。

NS 2 = NS 1 · NS= 3（-2）= -6

回答：-6

そこで、問題を解決するための代数的な方法を示しました。 難しい？ そうではありません、私は同意します。 長くてつまらない？ そのとおり。 ただし、作業量を大幅に削減できる場合もあります。 このためにあります グラフィカルな方法。古き良き、私たちに馴染みがあります。）

問題を描く！

はい！ 丁度。 ここでも、進行状況を数値軸に描画します。 定規に従う必要はありません。メンバー間で等間隔を維持する必要はありません（ちなみに、進行は幾何学的であるため、同じではありません！）が、単に 概略的にシーケンスを描画します。

私はそれをこのように手に入れました：

そして今、私たちは絵を見て考えます。 「q」が共有する同一の要素の数 第4と 7番目メンバー？ そうです、3つ！

したがって、私たちは書き留めるすべての権利を持っています。

-24NS 3 = 192

したがって、qは簡単に検索できるようになりました。

NS 3 = -8

NS = -2

それは素晴らしいことです、分母はすでに私たちのポケットに入っています。 そして今、私たちは再び絵を見てください：そのような分母が何人の間に座っているか 2番目と 第4メンバー？ 二！ したがって、これらの用語間の関係を記録するには、分母は次のようになります。 二乗.

だから私たちは書く：

NS 2 · NS 2 = -24 、 どこ NS 2 = -24/ NS 2

見つかった分母をb2の式に代入し、カウントして次のようにします。

回答：-6

ご覧のとおり、すべてがシステムよりもはるかに簡単で高速です。 さらに、ここでは最初の用語を数える必要さえありませんでした！ まったく。）

これが簡単で直感的な照明方法です。 しかし、彼には深刻な欠点もあります。 推測しましたか？ はい！ これは、進行の非常に短いスライスに対してのみ機能します。 関心のあるメンバー間の距離がそれほど大きくないもの。 しかし、他のすべての場合では、絵を描くことはすでに困難です、はい...それから私たちはシステムを通して問題を分析的に解決します。）そしてシステムは普遍的なものです。 どんな数字でも扱えます。

別の壮大な挑戦：

等比数列の第2項は、第1項よりも10多く、第3項は第2項よりも30多くなっています。 進行の分母を見つけます。

何がかっこいい？ 全くない！ すべて同じです。 問題のステートメントを再び純粋な代数に変換します。

1）各項を式に従って書き出す NSthメンバー！

第2項：b 2 = b 1 q

第3項：b 3 = b 1 q 2

2）問題ステートメントからメンバー間の関係を書き留めます。

条件を読みます： 「等比数列の第2項は、第1項よりも10多いです。」やめて、これは貴重です！

だから私たちは書く：

NS 2 = NS 1 +10

そして、このフレーズを純粋数学に翻訳します。

NS 3 = NS 2 +30

2つの方程式が得られました。 それらを組み合わせてシステムにします。

システムはシンプルに見えます。 しかし、文字にはさまざまなインデックスがあります。 表現の第2項と第3項の代わりに、第1項と分母を置き換えましょう！ 私たちがそれらを描いたのは無駄でしたか？

我々が得る：

しかし、そのようなシステムはもはや贈り物ではありません、はい...これを解決する方法は？ 残念ながら、複雑な問題を解決するための普遍的な秘密の呪文 非線形数学にはシステムがなく、そうすることはできません。 これは素晴らしい！ しかし、そのようなタフなナッツを割ろうとするときに最初に頭に浮かぶのは、理解することです。 しかし、システムの方程式の1つは、たとえば、変数の1つを他の変数で簡単に表現できる美しい形に還元できるのではないでしょうか。

それでは、見積もりをしましょう。 システムの最初の方程式は、2番目の方程式よりも明らかに単純です。 私たちは彼を拷問します。）最初の方程式から試してはいけません なにか表現する なにか？分母を見つけたいので NS、それなら私たちが表現することが最も有利でしょう NS 1 横切って NS.

それでは、古き良き方程式を使用して、最初の方程式でこの手順を実行してみましょう。

b 1 q = b 1 +10

b 1 q-b 1 = 10

b 1（q-1）= 10

すべての！ だから私たちは表現しました 不要変数（b 1）から 必要（NS）。 はい、彼らは最も単純な表現を受け取りませんでした。 一部...しかし、私たちのシステムはまともなレベルです、はい。）

典型的な。 私たちは何をすべきかを知っています。

ODZを書く （必要な！） :

q≠1

すべてに分母（q-1）を掛けて、すべての分数をキャンセルします。

10 NS 2 = 10 NS + 30(NS-1)

すべてを10で割り、角かっこを開き、左側のすべてを収集します。

NS 2 – 4 NS + 3 = 0

結果を解き、2つのルーツを取得します。

NS 1 = 1

NS 2 = 3

最終的な答えは1つだけです。 NS = 3 .

回答：3

ご覧のとおり、等比数列のn番目の項の式のほとんどの問題を解決する方法は常に同じです。 注意深く問題の状態と、n番目の項の式を使用して、全体を翻訳します 有用な情報純粋な代数に。

すなわち：

1）問題で与えられた各項を式で別々に書くNSthメンバー。

2）問題の状態から、用語間の関係を数学的形式に変換します。 方程式または連立方程式を作成します。

3）結果の方程式または連立方程式を解き、進行の未知のパラメーターを見つけます。

4）回答があいまいな場合は、問題の状態を注意深く読み、追加情報（ある場合）を探します。 また、受け取った回答をDLOの条件（ある場合）で確認します。

それでは、等比数列の問題を解決する過程でエラーにつながることが最も多い主な問題をリストアップしましょう。

1.初等算術。 分数と負の数のアクション。

2. これらの3つのポイントの少なくとも1つに問題がある場合は、必然的にこのトピックで誤解されます。 残念ながら...だから怠惰にならず、上記のことを繰り返してください。 そして、リンクをたどってください-行きます。 時々それは役に立ちます。）

変更された繰り返しの数式。

それでは、あまり馴染みのない状態の提示を伴う、いくつかの典型的な試験の問題を見てみましょう。 はい、あなたはそれを推測しました！ それ 変更と 再発 n番目の項の式。 私たちはすでにそのような公式に遭遇し、等差数列で働いてきました。 全部ここは一緒。 本質は同じです。

たとえば、OGEからのそのようなタスク：

等比数列は次の式で与えられます b n = 3 2 NS ..。 1番目と4番目のメンバーの合計を求めます。

今回は、進行はあまり馴染みがありません。 ある種の公式の形で。 だから何？ この式- また、式NSthメンバー！ n番目の項の式は、一般的な形式、文字、および 特定の進行..。 と 明確な最初の用語と分母。

私たちの場合、実際には、次のパラメータを使用して等比数列の一般的な用語式が与えられています。

NS 1 = 6

NS = 2

確認してみましょう）n番目の項の式を一般的な形で書いて代入しましょう NS 1 と NS..。 我々が得る：

b n = NS 1 · q n -1

b n= 6 2NS -1

因数分解と電力プロパティを使用して単純化し、次のようにします。

b n= 6 2NS -1 = 3 2 2NS -1 = 3 2NS -1+1 = 3 2NS

ご覧のとおり、すべてが公平です。 しかし、あなたとの私たちの目標は、特定の式の導出を実証することではありません。 これは叙情的な逸脱です。 純粋に理解するためです。）私たちの目標は、条件で私たちに与えられた式に従って問題を解決することです。 キャッチ？）したがって、変更された式を直接操作します。

最初の用語を数えます。 代わりの NS=1 一般式に：

NS 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

このような。 ちなみに、私は怠け者ではありません。もう一度、最初のメンバーの計算で典型的なNG集に注意を向けます。 式を見る必要はありません b n= 3 2NS、すぐに最初の用語がトリプルであることを書いて急いでください！ これは重大な間違いです、はい...）

続けましょう。 代わりの NS=4 そして第4項を数えます：

NS 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

そして最後に、必要な量を計算します。

NS 1 + NS 4 = 6+48 = 54

回答：54

別の問題。

等比数列は、次の条件によって指定されます。

NS 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

進行中の4番目の用語を見つけます。

ここで、進行は再帰式によって与えられます。 まあいいよ。） そのような式を扱う方法 -私たちも知っています。

だから私たちは行動します。 ステップバイステップ。

1）2つ数える 連続プログレッションのメンバー。

最初の学期はすでに私たちに割り当てられています。 マイナス7。 しかし、次の第2項は、漸化式を使用して簡単に計算できます。 もちろん、それがどのように機能するかを理解していれば。）

だから私たちは第2期を数えます オン 最初に知られている:

NS 2 = 3 NS 1 = 3（-7）= -21

2）進行の分母を考慮します

問題ありません。 まっすぐ、分割 2番目のメンバー 初め。

我々が得る：

NS = -21/(-7) = 3

3）式を書くNS通常の形式のメンバーであり、目的のメンバーを検討します。

したがって、最初の項と分母もわかります。 だから私たちは書く：

b n= -7 3NS -1

NS 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

回答：-189

ご覧のとおり、等比数列でこのような数式を使用することは、等差数列の場合と本質的に同じです。 これらの公式の一般的な本質と意味を理解することだけが重要です。 そうですね、等比数列の意味も理解する必要があります。そうです。）そうすれば、愚かな間違いはありません。

さて、自分で解決しましょう？）

ウォームアップの非常に基本的なタスク：

1.等比数列が与えられます。 NS 1 = 243、および NS = -2 / 3。 進行中の6番目の用語を見つけます。

2.等比数列の一般的な用語は、次の式で与えられます。 b n = 5∙2 NS +1 . この進行の最後の3桁のメンバーの番号を見つけます。

3.等比数列は、次の条件によって設定されます。

NS 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

進行中の5番目の用語を見つけます。

もう少し複雑です：

4.等比数列が与えられます：

NS 1 =2048; NS =-0,5

その6番目の負の項は何ですか？

何が超難しいと思われますか？ 全くない。 等比数列の意味の論理と理解はあなたを救うでしょう。 もちろん、n番目の項の式です。

5.等比数列の第3項は-14で、第8項は112です。等比数列の分母を見つけます。

6.等比数列の第1項と第2項の合計は75で、第2項と第3項の合計は150です。等比数列の第6項を見つけます。

回答（混乱）：6; -3888; -1; 800; -32; 448。

ほとんどすべてです。 数える方法を学ぶことだけが残っています 等比数列の最初のn項の合計はい発見 等比数列が無限に減少とその量。 ちなみに、とても面白くて珍しいことです！ これについては、次のレッスンで詳しく説明します。）